هندسه مسطحه

[صبا محمدي]

هندسه مسطحهشاخه‌ای از هندسه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87) است که با شکل‌های دو بعدی سروکار دارد.گرچه ما در دنیایی سه بعدی زندگی میکنیم مطالعه هندسه مسطحه می‌تواند بینش ما را نسبت به بعضی از ویژگی‌های اطرافمان عمیق کند.

مفاهیم اساسی هندسه نیز،درست همان طور که مفهوم عدد از دنیایی مرئی مجرد شده است،از فرایندی تجریدی که قرن‌ها به طول انجامیده به دست آمده‌اند.
در این مورد ،با چشم پوشی از تفاوت‌های غیر ذاتی، از قبیل رنگ،شکل یا ترکیب رویه ای،و عدم توجه به اختلاف‌های دیگر اشیای حقیقی،به صورتهای فضا (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%81%D8%B6%D8%A7)یی در سه بعد:طول ،عرض و ارتفاع می‌رسیم.
جسم فضایی سه بعد،اما رویه تنها دو بعد،خط مثلا لبه برخورد دو رویه،یک بعد و سرانجام ،نقطه،که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته میشود بعد صفر دارد.
در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر می گیریم،و بررسی‌های هندسی را ،در حالت عمومی،در این صفحه انجام می‌دهیم،اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87+%D8% A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C) نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود.
نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند.به طور شهودی،خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه ،حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه (axiom)ها مشخص می‌شوند.

[صبا محمدي]

مقدمه

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1) می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای مختصات دکارتی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AE%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%A A+%D8%AF%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C) است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.

[صبا محمدي]

بردار بین دو نقطه در فضا

بیشتر اوقات لازم است که بردار بین نقاط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.png را بدست آوریم. هندسه فضایی این مشکل را برای ما حل می‌کند، به این ترتیب که اگر دو نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5de7a00cb0e4f66908021b67cfe44678.png را برحسب مختصات فضایی که دارند بیان کنیم بردار بین این دو نقطه توسط رابطه زیر حاصل خواهد شد:




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e0c982281984f581dab3198a23266ddd.png


فاصله در فضا

برای یافتن فاصله بین دو نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.png به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر یک از مؤلفه‌های فوق رادیکال با فرجه دوم می‌گیریم بنابراین داریم:




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9206d14d456177b37b5ae3ac43fb7097.png

حاصل عبارت فوق یک کمیت اسکالر می‌باشد.
وسط یک پاره خط در فضا
برای پیدا کردن وسط یک پاره خط که دو نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5de7a00cb0e4f66908021b67cfe44678.png را به هم وصل می‌کند متوسط و یا به عبارتی میانگین مختصات http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/71dff1e526f313906e472cd2ffeb1344.png را بدست می‌آوریم.

[صبا محمدي]

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضایی به مطالعه کره و استوانه نیز می‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8f62771b160cd9841d1b4e3b23be853.png به صورت زیر است:




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e7469cfb4635172c2a27cf8b5fdf5c65.png

در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعمیم هندسه تحلیلی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87+%D8% AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84%DB%8C) به فضا هستیم. به طور کلی استوانه سطحی است که از حرکت خط مستقیم در امتداد یک منحنی تولید می‌شود به طوری که همواره موازی خط می‌باشد. به طور کلی ، هر منحنی مانند
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/54301f7342bf8419bac3de2ecd79850f.png در صفحه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/020c97cbe190b49509843be689e8c9f8.png استوانه‌ای در فضا تعریف می‌کند که معادله آن به صورت فوق می‌باشد و از نقاط خطوطی مار بر منحنی تشکیل شده است که با محور z موازی‌اند. خطوط را گاهی عناصر استوانه می‌نامند. بحث فوق را می‌توان برای استوانه‌هایی که عناصرشان موازی سایر محورهای مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: یک معادله در مختصات دکارتی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AE%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%A A+%D8%AF%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C) ، که از آن یکی از مختصات متغیر حذف شده، نمایش استوانه ای است که عناصرش موازی محور مربوط به متغیر مفقود است. سهمی گونها یکی دیگر از اشکال مختصات فضایی هستند. بسیاری از آنتنها به شکل قطعاتی از سهمی گونهای دوارند، رادیو تلسکوپها یکی دیگر از انواع سهمی گونهای مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضایی مدد گرفته شده است.

[صبا محمدي]

منشور

منشور قائم شکلی فضایی است که از دو یا چند ضلعی مساوی و موازی تشکیل شده که رئوس این چندضلعیها طوری به هم وصل شده اند که وجوه جانبی این شکل فضایی مستطیل می‌باشد.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهیم داشت:




a+b)2c) = مساحت جانبی مکعب مستطیل


(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطیل


Abc= حجم مکعب مستطیل


هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده آن یک یا چند ضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث است. این مثلثها یک رأس مشترک به نام S دارند. هرمی که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمی که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده نامیده می‌شود. پاره خطی که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود می‌شود ارتفاع نامیده می‌شود. اگر قاعده یک هرم یک چند ضلعی منتظم باشد پای ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم می‌نامیم. ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم را سهم هرم می‌نامند.




2/سهم×محیط قاعده= مساحت جانبی هرم منتظم


ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم

[صبا محمدي]

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است.

واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.

تاریخچه هندسه

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرنیققا در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند.

براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.

خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق.م) و زنون (۴۹۰ ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تقسیم بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

* هنـدسه مسطحه
* هندسه فضائی.
* هندسه خطی.

در هندسه مسطح، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.