صبا محمدي
29th December 2008, 05:08 PM
بسط تیلور
f(x) = e2
(http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1# searchInput)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/300px-Sintay.svg.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Sintay.svg) http://upload.wikimedia.org/skins/common/images/magnify-clip.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Sintay.svg)
sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.
به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.
تعریف: اگر f در همسایگی x0 و http://upload.wikimedia.org/math/d/8/6/d86a0de64e006025ff08e3a783546569.png بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه f را می‌توان به صورت توان‌هایی از (x − x0) نوشت.
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/1/741ec2e025509c11d8239089b366e8c5.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/d/3/3d36a2b59de41127935bc6d6d0cc07b3.png
که در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86) انگلیسی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86) بروک تیلور (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B1%D9%88%DA%A9_%D8%AA%DB %8C%D9%84%D9%88%D8%B1&action=edit&redlink=1) اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.
مثال:
x
در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
می‌توان گفت:
http://upload.wikimedia.org/math/8/9/3/89338e0479ccbb4c7ffacede8d2e4492.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/4/8/9489c98c3f5c9b0c5000f9f2b978b476.png
همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .
حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 میباشد را سری مکلورن (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D9%85%DA%A9%D9 %84%D9%88%D8%B1%D9%86&action=edit&redlink=1) می‌گویند.
f(x) = e2
(http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%B3%D8%B7_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1# searchInput)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Sintay.svg/300px-Sintay.svg.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Sintay.svg) http://upload.wikimedia.org/skins/common/images/magnify-clip.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Sintay.svg)
sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.
به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.
تعریف: اگر f در همسایگی x0 و http://upload.wikimedia.org/math/d/8/6/d86a0de64e006025ff08e3a783546569.png بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه f را می‌توان به صورت توان‌هایی از (x − x0) نوشت.
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/1/741ec2e025509c11d8239089b366e8c5.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/d/3/3d36a2b59de41127935bc6d6d0cc07b3.png
که در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86) انگلیسی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86) بروک تیلور (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%A8%D8%B1%D9%88%DA%A9_%D8%AA%DB %8C%D9%84%D9%88%D8%B1&action=edit&redlink=1) اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.
مثال:
x
در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
می‌توان گفت:
http://upload.wikimedia.org/math/8/9/3/89338e0479ccbb4c7ffacede8d2e4492.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/4/8/9489c98c3f5c9b0c5000f9f2b978b476.png
همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .
حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 میباشد را سری مکلورن (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D9%85%DA%A9%D9 %84%D9%88%D8%B1%D9%86&action=edit&redlink=1) می‌گویند.