روش نيوتن در انتگرال

[صبا محمدي]

نیوتون یا روش مماس از جمله روشهای مشهور و پرکاربرد محاسبه ریشه توابع محسوب می شه. این روش به خاطر گستردگی شیوه استفاده و همگرایی بسیار سریع، محبوبیت زیادی داره.
فرض کنیم بازه [a,b] حاوی ریشه مورد نظر باشه. شرایط استفاده از روش نیوتون به قراره زیره:
۱- مشتق اول تابع در هیچ نقطه ای از بازه صفر نباشه.
۲- مشتق دوم تابع در بازه تغییر علامت نده.
فرض کنید x0 یه تقریب اولیه از صفر تابع در بازه [a,b] باشه. دنباله {(x(n} رو بصورت زیر تعریف می کنیم:

( ( x( n ) = x( n - 1 ) - f( x( n - 1 ) ) / df( x( n - 1
که f و df به ترتیب ضابطه تابع و مشتق اولش رو مشخص می کنه. براحتی می شه ثابت کرد که اگه شرایط دو گانه فوق برقرار باشه و مقدار x0 هم درست انتخاب بشه، دنباله {(x(n} به صفر تابع همگراست. باید سعی کنید مقدار x0 رو تا حد امکان نزدیک به ریشه انتخاب کنید (برای اینکار می تونید از روش تنصیف استفاده کنید). انتخاب نادرست مقدار x0 ممکنه باعث ایجاد حلقه تکرار حول ریشه معادله بشه. این مورد از معایب روش نیوتن به حساب می یاد.پ
این روش دو ویژگی خیلی مهم داره:
۱- سرعت همگرایی بسیار بالا (اکثر دستگاههای محاسباتی برای محاسبه ریشه های معادلات، یا محاسبه توابعی نظیر رادیکال و . . . از این روش استفاده می کنن).
۲- قابلیت گسترش برای محاسبه ریشه های مضاعف و تکراری معادلات