روش ذوزنقه اي

[صبا محمدي]

ما در بسیاری از اوقات نیاز به استفاده از روشهای عددی برای محاسبه انتگرال معین داریم. در کاربرد های واقعی عموما انتگرالهای معین در حالتی نیستند که بتوان به روش پادمشتق به محاسبه آنها پرداخت. در اینصورت باید به روشهای عددی متوسل بشویم. در اینجا با روش ذوزنقه ای برای محاسبه عددی انتگرال معین بیشتر آشنا می شویم:
فرض کنید قصد داریم انتگرال معین تابع f(x) را در بازه [a,b] پیدا کنیم. بدون اینکه در کلیت بحث خللی وارد شود فرض می کنیم در این بازه تابع همواره نامنفی است. بازه فوق را به n بخش مساوی افراز می کنیم. نقاط افراز به این ترتیب خواهند بود:

http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normal x_{0}=a,x_{1},...x_{n-1},x_{n}=b
توجه داشته باشید که برای راحتی کار فاصله بین این نقاط برابر در نظر گرفته شده است. یعنی، http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normal d=\frac{b-a}{n}=\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1};0<i\leq n.
حالا به عبارت http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normal S\left( i\right) =\frac{f\left( x_{i}\right) +f(x_{i-1})}{2}\times d;0<i\leq n توجه کنید. اگر دقت کنید متوجه می شوید که مقدارhttp://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?S\left( i\right) برابر است با مساحت ذوزنقه ای که در شکل زیر با رنگ خاکستری روشن نمایش داده شده است:
(http://www.riazilog.com/wp-content/uploads/2007/06/pic1.JPG)[/URL][URL="http://www.riazilog.com/wp-content/uploads/2007/06/pic1.JPG"] (http://www.riazilog.com/wp-content/uploads/2007/06/pic1.JPG)

http://www.riazilog.com/wp-content/uploads/2007/08/pic1.JPG
مجموع این http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normal S\left( i\right) ها مساحت زیر نمودار را با خطایی معادل قسمتهای خاکستری تیره شکل بالا به ما می دهد. به عبارت دیگر داریم:

http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normal\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_ {n\rightarrow \infty }\sum\limits_{i=1}^{n}S(i)=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{i=1}^{n}\left( \frac{f(x_{i})+f(x_{i-1})}{2}\times d\right)
هرچه مقدار n به عنوان تعداد تقسیمها بیشتر باشد خطای محاسبه (مساحت سطح خاکستری تیره) کمتر می شود. البته انتخاب مقدار مناسب n به موارد دیگری نیز بستگی دارد.