مسافر007
24th April 2011, 12:14 PM
مرکز جرم
مرکز جرم نقطه‌ای است که به نمایندگی از کل جسم یا کل ذرات یک سیستم می‌‌تواند بیانگر حرکت سیستم یا جسم باشد. به بیان دیگر
، فرض میشود که کل نیروهای وارد بر سیستم بر مرکز جرم اعمال میشود.||
!یک مثال
فرض کنید دو جعبه میخ به ما داده شده است که در یکی از آنها تعداد n میخ با طول L_1 و در جعبه دیگر تعداد m میخ با طول L_2 وجود دارد. اگر چنانچه m=n باشد، میانگین طول میخها برابر با نصف مجموع دو طول L_1 و L_2 خواهد بود، اما اگر m \ne n باشد، در این صورت تعداد مربوط به یک نوع از میخها از تعداد نوع دیگر بیشتر خواهد بود. بنابراین برای تعیین طول میانگین میخها باید یک ضریب وزنی برای هر طول در نظر بگیریم. به عنوان مثال ، ضریب میانگین وزنی برای میخهای نوع اول برابر {n \over n + m} و برای میخهای نوع دوم {m \over n + m} خواهد بود. به این ترتیب ، اگر میانگین طول میخها را با L نشان دهیم، خواهیم داشت:
~~green:::{TEX()} {L = ({n \over n + m})L_1 + ({m \over n + m})L_2} {TEX}::~~
مرکز جرم چیزی شبیه به کمیت فوق است
!رابطه مرکز جرم
سیستمی در نظر بگیرید که از دو ذره با جرمهای m_1 و m_2 تشکیل شده است. اگر مختصات این دو ذره را به ترتیب با ({TEX()} {x_1 , y_1 , z_1} {TEX}) و ({TEX()} {x_2 , y_2 , z_2} {TEX}) نشان دهیم، در این صورت مختصات مرکز جرم از روابط زیر محاسبه میشود:
~~violet:::{TEX()} {x_{c.m} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
::{TEX()} {y_{c.m} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
::{TEX()} {z_{c.m} = \frac{m_1z_1 + m_2z_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
~~در رابطه فوق مختصات مرکز جرم به صورت ({TEX()} {x_{c.m} , y_{c.m} , z_{c.m}} {TEX}) است.
!رابطه مرکز جرم در یک ((جسم صلب))
در مورد یک جسم صلب که تقریبا حالت پیوسته وجود دارد، یعنی می‌‌توان چنین تصور کرد که جسم صلب از تعداد بینهایت ذره تشکیل شده است، علامت (+) در رابطه قبلی به ((انتگرال)) تبدیل میشود و بسته به اینکه جسم به صورت یک سطح با ضخامت ناچیز باشد (توزیع سطحی جرم) و یا به صورت یک جسم با حجم معین (توزیع حجمی جرم) ((انتگرال سطحی)) یا ((انتگرال حجمی|حجمی)) خواهیم داشت. بطور کلی می‌‌توان گفت که در بررسی حرکت جسم صلب اولین و شاید اصلی‌ترین کاری که انجام می‌‌گیرد، تعیین موقعیت مرکز جرم است. چون بعد از تعیین موقعیت مرکز جرم ، ((شتاب)) و ((سرعت)) آن به راحتی قابل محاسبه است.
!مشخصات مرکز جرم
!!((معادله حرکت)) سیستم ذرات
هرگاه به یک سیستم تعداد زیادی نیرو (به عنوان مثال n نیرو) وارد شود، در این صورت حاصل‌ضرب جرم کل گروهی از ذرات در شتاب مرکز جرم آنها ، برابر است با حاصل‌جمع برداری تمام نیروهای وارد بر آنها. به عبارت دیگر داریم:
::{TEX()} {Ma_{c.m} = F_1 + F_2 + … + F_n} {TEX}::
در عبارت فوق a_c.m شتاب مرکز جرم و M برابر مجموع جرم تمام ذرات سیستم (و یا در مورد یک جسم صلب برابر با جرم کل جسم) میباشد.
!!شتاب مرکز جرم
مرکز جرم یک سیستم و یا یک دستگاه ذرات طوری حرکت می‌‌کند که گویی تمام جرم آن دستگاه در آن نقطه متمرکز شده است و تمام نیروهای خارجی بر آن نقطه وارد می‌‌شوند:
::{TEX()} {a_{c.m} = {F_{ext }\over M}} {TEX}::
در رابطه فوق {TEX()} {F_{ext}} {TEX} نمایشگر برایند نیروهای خارجی وارد بر سیستم است.
!!تکانه کل یک سیستم ذرات
''تکانه'' یا ''((اندازه حرکت خطی)) کل'' هر دستگاه یا سیستم ذرات ، با حاصل‌ضرب جرم کل دستگاه (یا مجموع جرم ذرات سیستم) در سرعت مرکز جرم آن ، برابر است
مرکز جرم نقطه‌ای است که به نمایندگی از کل جسم یا کل ذرات یک سیستم می‌‌تواند بیانگر حرکت سیستم یا جسم باشد. به بیان دیگر
، فرض میشود که کل نیروهای وارد بر سیستم بر مرکز جرم اعمال میشود.||
!یک مثال
فرض کنید دو جعبه میخ به ما داده شده است که در یکی از آنها تعداد n میخ با طول L_1 و در جعبه دیگر تعداد m میخ با طول L_2 وجود دارد. اگر چنانچه m=n باشد، میانگین طول میخها برابر با نصف مجموع دو طول L_1 و L_2 خواهد بود، اما اگر m \ne n باشد، در این صورت تعداد مربوط به یک نوع از میخها از تعداد نوع دیگر بیشتر خواهد بود. بنابراین برای تعیین طول میانگین میخها باید یک ضریب وزنی برای هر طول در نظر بگیریم. به عنوان مثال ، ضریب میانگین وزنی برای میخهای نوع اول برابر {n \over n + m} و برای میخهای نوع دوم {m \over n + m} خواهد بود. به این ترتیب ، اگر میانگین طول میخها را با L نشان دهیم، خواهیم داشت:
~~green:::{TEX()} {L = ({n \over n + m})L_1 + ({m \over n + m})L_2} {TEX}::~~
مرکز جرم چیزی شبیه به کمیت فوق است
!رابطه مرکز جرم
سیستمی در نظر بگیرید که از دو ذره با جرمهای m_1 و m_2 تشکیل شده است. اگر مختصات این دو ذره را به ترتیب با ({TEX()} {x_1 , y_1 , z_1} {TEX}) و ({TEX()} {x_2 , y_2 , z_2} {TEX}) نشان دهیم، در این صورت مختصات مرکز جرم از روابط زیر محاسبه میشود:
~~violet:::{TEX()} {x_{c.m} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
::{TEX()} {y_{c.m} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
::{TEX()} {z_{c.m} = \frac{m_1z_1 + m_2z_2}{m_1 + m_2}} {TEX}::
~~در رابطه فوق مختصات مرکز جرم به صورت ({TEX()} {x_{c.m} , y_{c.m} , z_{c.m}} {TEX}) است.
!رابطه مرکز جرم در یک ((جسم صلب))
در مورد یک جسم صلب که تقریبا حالت پیوسته وجود دارد، یعنی می‌‌توان چنین تصور کرد که جسم صلب از تعداد بینهایت ذره تشکیل شده است، علامت (+) در رابطه قبلی به ((انتگرال)) تبدیل میشود و بسته به اینکه جسم به صورت یک سطح با ضخامت ناچیز باشد (توزیع سطحی جرم) و یا به صورت یک جسم با حجم معین (توزیع حجمی جرم) ((انتگرال سطحی)) یا ((انتگرال حجمی|حجمی)) خواهیم داشت. بطور کلی می‌‌توان گفت که در بررسی حرکت جسم صلب اولین و شاید اصلی‌ترین کاری که انجام می‌‌گیرد، تعیین موقعیت مرکز جرم است. چون بعد از تعیین موقعیت مرکز جرم ، ((شتاب)) و ((سرعت)) آن به راحتی قابل محاسبه است.
!مشخصات مرکز جرم
!!((معادله حرکت)) سیستم ذرات
هرگاه به یک سیستم تعداد زیادی نیرو (به عنوان مثال n نیرو) وارد شود، در این صورت حاصل‌ضرب جرم کل گروهی از ذرات در شتاب مرکز جرم آنها ، برابر است با حاصل‌جمع برداری تمام نیروهای وارد بر آنها. به عبارت دیگر داریم:
::{TEX()} {Ma_{c.m} = F_1 + F_2 + … + F_n} {TEX}::
در عبارت فوق a_c.m شتاب مرکز جرم و M برابر مجموع جرم تمام ذرات سیستم (و یا در مورد یک جسم صلب برابر با جرم کل جسم) میباشد.
!!شتاب مرکز جرم
مرکز جرم یک سیستم و یا یک دستگاه ذرات طوری حرکت می‌‌کند که گویی تمام جرم آن دستگاه در آن نقطه متمرکز شده است و تمام نیروهای خارجی بر آن نقطه وارد می‌‌شوند:
::{TEX()} {a_{c.m} = {F_{ext }\over M}} {TEX}::
در رابطه فوق {TEX()} {F_{ext}} {TEX} نمایشگر برایند نیروهای خارجی وارد بر سیستم است.
!!تکانه کل یک سیستم ذرات
''تکانه'' یا ''((اندازه حرکت خطی)) کل'' هر دستگاه یا سیستم ذرات ، با حاصل‌ضرب جرم کل دستگاه (یا مجموع جرم ذرات سیستم) در سرعت مرکز جرم آن ، برابر است