nafise sadeghi
22nd December 2008, 10:56 PM
مقدمه و معرفی
شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد. اینها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده شی سومی را پدید می‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهمترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی میکنیم.
عمل دوتایی
یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a9e6bd3994986fffbb614f019d218e74.png از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت می‌دهد. لازم به ذکر است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6e92dc9d4f9c9e2908e72a7261321ddc.png. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
عمل دوتایی * یک تابع خوش‌تعریف از G×Gعمل دوتایی به توی G باشد یعنی به هر عضو عنصرG×G کتایی از G را نسبت می‌دهد.
حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * می‌شود، معمولا با * یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5e74e5371c4a7015cf089d6bbaaeb410.png نمایش میدهیم.
اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab می‌نویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان میدهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان میدهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان میدهیم.
نمونه‌هایی از اعمال دوتایی
مجموعه اعداد صحیح (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD) را در نظر بگیرید ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9c5a519d4521845ce27a3d11613b9307.png را به صورت زیر تعریف میکنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a51d1d503f947d639587b2e7e3c8073.png به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
مجموعه اعداد طبیعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B7%D8%A8%DB% 8C%D8%B9%DB%8C) N را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/92890ba4e15ebabc3b1ea669a737d34b.png اما عمل فوق در Z و Q عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟) ولی در R عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف میکنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/aba78c9778e82f801afd68deefab621c.png عمل * در A=Q یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود که متعلق به Q نیست. همچنین است درباره َA=R .
بسته بودن نسبت به یک عمل دوتایی
مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی Z برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9e40b7de347cc06d1d585860fe196e90.png که زیرمجموعه‌ای از Z است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/614dc53701e0fbee4df60e7848b10a24.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0aed7f3a49559b5707b5df1fc9dedd5c.png در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8fba6c2b6954740b4886e9530078899b.png را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/920b21910d4ff35fe915170691558069.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be5e05b4fc0655327b2398af09a18bb3.png. در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.
اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4e3c3f947d340d65af7dae007b29587.png گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/21a9cff4893b0df7ba9011a7e939a0b5.png داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/663e36af2a3582fb94b163d531d96239.png به عنوان مثال:
مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/30e2b0f62bf9b7804df997ac55a92aba.png تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f16f3bb43d5a25eadf78506d6e0bb181.png تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
.
شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد. اینها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده شی سومی را پدید می‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهمترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی میکنیم.
عمل دوتایی
یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a9e6bd3994986fffbb614f019d218e74.png از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت می‌دهد. لازم به ذکر است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6e92dc9d4f9c9e2908e72a7261321ddc.png. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
عمل دوتایی * یک تابع خوش‌تعریف از G×Gعمل دوتایی به توی G باشد یعنی به هر عضو عنصرG×G کتایی از G را نسبت می‌دهد.
حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * می‌شود، معمولا با * یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5e74e5371c4a7015cf089d6bbaaeb410.png نمایش میدهیم.
اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab می‌نویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان میدهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان میدهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان میدهیم.
نمونه‌هایی از اعمال دوتایی
مجموعه اعداد صحیح (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD) را در نظر بگیرید ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9c5a519d4521845ce27a3d11613b9307.png را به صورت زیر تعریف میکنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a51d1d503f947d639587b2e7e3c8073.png به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
مجموعه اعداد طبیعی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B7%D8%A8%DB% 8C%D8%B9%DB%8C) N را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/92890ba4e15ebabc3b1ea669a737d34b.png اما عمل فوق در Z و Q عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟) ولی در R عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف میکنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/aba78c9778e82f801afd68deefab621c.png عمل * در A=Q یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود که متعلق به Q نیست. همچنین است درباره َA=R .
بسته بودن نسبت به یک عمل دوتایی
مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی Z برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9e40b7de347cc06d1d585860fe196e90.png که زیرمجموعه‌ای از Z است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/614dc53701e0fbee4df60e7848b10a24.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0aed7f3a49559b5707b5df1fc9dedd5c.png در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8fba6c2b6954740b4886e9530078899b.png را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/920b21910d4ff35fe915170691558069.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/be5e05b4fc0655327b2398af09a18bb3.png. در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.
اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4e3c3f947d340d65af7dae007b29587.png گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/21a9cff4893b0df7ba9011a7e939a0b5.png داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/663e36af2a3582fb94b163d531d96239.png به عنوان مثال:
مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/30e2b0f62bf9b7804df997ac55a92aba.png تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
مجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f16f3bb43d5a25eadf78506d6e0bb181.png تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
.