Only Math
15th December 2008, 08:07 PM
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-1.jpg
1- توزيع بينم نيوتن
تجربه اي را در نظر بگيريد که شامل آزمايشهاي متعدد بوده
و نتيجه هر آزمايش دو حالت بيشتر نداشته باشد
و غير از اين دو حالت، حالت سومي وجود نداشته باشد.
مثلاً تجربه انداختن سکه را در نظر بگيريد
که هر بار انداختن سکه، نتيجه فقط دو حالت خواهد داشت شير يا خط.
اگر سکه را 10 بار به هوا پرتاب کنيم
تجربه انداختن سکه شامل 10 آزمايش خواهد بود
و هر آزمايش دو حالت خواهد داشت.
دقت کنيد که هر آزمايش، مشابه آزمايش ديگر است و هيچ اختلافي بين آنها وجود ندارد.
فرض کنيد کيسه اي داشته باشيم شامل 15 توپ قرمز و 17 توپ آبي،
تجربه برداشت توپ از کيسه را در نظر بگيريم
که بخواهيم 10 آزمايش مشابه روي کيسه انجام بدهيم
يک توپ از کيسه خارج کنيم رنگ آن را يادداشت کنيم
سپس توپ را به کيسه برگردانيم
تا آزمايش بعد که بخواهيم توپ را از کيسه خارج کنيم.
دقت کنيد که برداشت توپ ها با جايگذاري است
در غير اين صورت آزمايش ها مشابه هم نيستند
در نهايت دقت کنيد که برداشت توپ از این کيسه دو حالت دارد.
تجربه بينم آن تجربه اي است که داراي خواص زير باشد:
1- تجربه شامل n آزمايش مکرر کاملاً مشابه باشد.
2- هر آزمايش شامل دو نتيجه است که
يکي را موفقيت يا مطلوب و ديگري را
عدم موفقيت يا غير مطلوب مي ناميم.
3- احتمال موفقيت را با p نشان مي دهيم
در نتيجه احتمال عدم موفقيت q=p-1 مي باشد.
4-آزمايش هاي مکرر مستقل از هم هستند.
تجربه پرتاب سکه را در نظر بگيريد
و آمدن شير را به عنوان موفقيت در نظر بگيريد
اين سکه را 3 مرتبه به هوا پرتاب مي کنيم
تعداد 8 نتيجه ممکنه و مقادير مربوطه آن در جدول زير نشان داده شده است.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-3.jpg
H : سکه شیر آمده باشد.
T : سکه خط آمده باشد.
( ستون متغیر تصادفی در جدول بالا تعداد شیرها را در سه پرتاب نشان می دهد.
در توزیع بینم نیوتن ترتیب آمدن شیرها و یا ترتیب موفقیت ها اهمیتی ندارد،
بلکه فقط تعداد آن ها دارای اهمیت است.
برای مثال: اگر تعداد دو موفقیت مد نظر باشد
آن را به صورت
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-5.jpg
نمایش می دهند.)
در جدول فوق با متغير تصادفي بينم نيوتن آشنا مي شويم که عبارت است از:
تعداد موفقيت در n آزمايش.
چون آزمايش ها مستقل از هم هستند و دارای احتمال برابر ½ هستند لذا:
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-6.jpg
به همين ترتيب هر يک از ساير نتايج داراي احتمال
⅛ خواهند بود
ولي احتمال آنکه دو شير در 3 پرتاب نمايان شود ⅛ نخواهد بود.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-12.jpg
نماد ديگري که براي توزيع بينم نيوتن استفاده مي شود( b( x:n,p است.
که در آن P احتمال موفقيت در يک آزمايش است،
n تعداد آزمايش است و x تعداد موفقيت در n آزمايش می باشد.
حال فرمولي کلي براي ( b( x:n,p ارائه مي دهیم، سپس آن را توضيح مي دهيم.
اگر توزيع بينم نيوتن منجر به موفقيت با احتمال P و عدم موفقيت با احتمال q=1-p گردد،
در اينصورت توزيع احتمال x بار موفقيت در n آزمايش مستقل به صورت زير بيان مي گردد.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-7.jpg
چون x بار در n آزمايش مي خواهيم موفق باشيم
در نتيجه در n-x آزمايش ديگر با عدم موفقيت روبه رو خواهيم بود
و چون آزمايش ها مستقل از يکديگر هستند مي توان آنها را در هم ضرب کرد.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-4.jpg
تعداد حالات انتخاب x خانه از n خانه فوق
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-13.jpg
است.
← تاسی را 5 بار پرتاب می کنیم،
احتمال اینکه عدد 2 دقیقاً در سه بار پرتاب نشان داده شود چقدر است؟
احتمال موفقیت در هر یک از 5 آزمایش مستقل 1/6 و احتمال عدم موفقیت 5/6 است.
رو آمدن 2 در اینجا به عنوان موفقیت تلقی شده است، در نتیجه:
داده های مساله:http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-8.jpg
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-10.jpg
← یک تیم فوتبال0/9 از پنالتی های خود را تبدیل به گل می کند،
احتمال اینکه این تیم 4 پنالتی از 5 پنالتی آخر خود را تبدیل به گل کند چقدر است؟
داده های مساله: x=4 , p=0/9 , q=0/1 , n=5
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-14.jpg
← در خانواده ای احتمال پسردار شدن 2 برابر احتمال دختردار شدن است.
اگر این خانواده دارای 10 فرزند باشد،
به چه احتمالی تعداد پسرهای این خانواده بیشتر از 8 تا است؟
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-15.jpghttp://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-16.jpg
احتمال اینکه این خانواده بیشتر از 8 تا پسر داشته باشد:
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-11.jpg
منبع:www.tizhosh.ir
1- توزيع بينم نيوتن
تجربه اي را در نظر بگيريد که شامل آزمايشهاي متعدد بوده
و نتيجه هر آزمايش دو حالت بيشتر نداشته باشد
و غير از اين دو حالت، حالت سومي وجود نداشته باشد.
مثلاً تجربه انداختن سکه را در نظر بگيريد
که هر بار انداختن سکه، نتيجه فقط دو حالت خواهد داشت شير يا خط.
اگر سکه را 10 بار به هوا پرتاب کنيم
تجربه انداختن سکه شامل 10 آزمايش خواهد بود
و هر آزمايش دو حالت خواهد داشت.
دقت کنيد که هر آزمايش، مشابه آزمايش ديگر است و هيچ اختلافي بين آنها وجود ندارد.
فرض کنيد کيسه اي داشته باشيم شامل 15 توپ قرمز و 17 توپ آبي،
تجربه برداشت توپ از کيسه را در نظر بگيريم
که بخواهيم 10 آزمايش مشابه روي کيسه انجام بدهيم
يک توپ از کيسه خارج کنيم رنگ آن را يادداشت کنيم
سپس توپ را به کيسه برگردانيم
تا آزمايش بعد که بخواهيم توپ را از کيسه خارج کنيم.
دقت کنيد که برداشت توپ ها با جايگذاري است
در غير اين صورت آزمايش ها مشابه هم نيستند
در نهايت دقت کنيد که برداشت توپ از این کيسه دو حالت دارد.
تجربه بينم آن تجربه اي است که داراي خواص زير باشد:
1- تجربه شامل n آزمايش مکرر کاملاً مشابه باشد.
2- هر آزمايش شامل دو نتيجه است که
يکي را موفقيت يا مطلوب و ديگري را
عدم موفقيت يا غير مطلوب مي ناميم.
3- احتمال موفقيت را با p نشان مي دهيم
در نتيجه احتمال عدم موفقيت q=p-1 مي باشد.
4-آزمايش هاي مکرر مستقل از هم هستند.
تجربه پرتاب سکه را در نظر بگيريد
و آمدن شير را به عنوان موفقيت در نظر بگيريد
اين سکه را 3 مرتبه به هوا پرتاب مي کنيم
تعداد 8 نتيجه ممکنه و مقادير مربوطه آن در جدول زير نشان داده شده است.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-3.jpg
H : سکه شیر آمده باشد.
T : سکه خط آمده باشد.
( ستون متغیر تصادفی در جدول بالا تعداد شیرها را در سه پرتاب نشان می دهد.
در توزیع بینم نیوتن ترتیب آمدن شیرها و یا ترتیب موفقیت ها اهمیتی ندارد،
بلکه فقط تعداد آن ها دارای اهمیت است.
برای مثال: اگر تعداد دو موفقیت مد نظر باشد
آن را به صورت
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-5.jpg
نمایش می دهند.)
در جدول فوق با متغير تصادفي بينم نيوتن آشنا مي شويم که عبارت است از:
تعداد موفقيت در n آزمايش.
چون آزمايش ها مستقل از هم هستند و دارای احتمال برابر ½ هستند لذا:
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-6.jpg
به همين ترتيب هر يک از ساير نتايج داراي احتمال
⅛ خواهند بود
ولي احتمال آنکه دو شير در 3 پرتاب نمايان شود ⅛ نخواهد بود.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-12.jpg
نماد ديگري که براي توزيع بينم نيوتن استفاده مي شود( b( x:n,p است.
که در آن P احتمال موفقيت در يک آزمايش است،
n تعداد آزمايش است و x تعداد موفقيت در n آزمايش می باشد.
حال فرمولي کلي براي ( b( x:n,p ارائه مي دهیم، سپس آن را توضيح مي دهيم.
اگر توزيع بينم نيوتن منجر به موفقيت با احتمال P و عدم موفقيت با احتمال q=1-p گردد،
در اينصورت توزيع احتمال x بار موفقيت در n آزمايش مستقل به صورت زير بيان مي گردد.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-7.jpg
چون x بار در n آزمايش مي خواهيم موفق باشيم
در نتيجه در n-x آزمايش ديگر با عدم موفقيت روبه رو خواهيم بود
و چون آزمايش ها مستقل از يکديگر هستند مي توان آنها را در هم ضرب کرد.
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-4.jpg
تعداد حالات انتخاب x خانه از n خانه فوق
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-13.jpg
است.
← تاسی را 5 بار پرتاب می کنیم،
احتمال اینکه عدد 2 دقیقاً در سه بار پرتاب نشان داده شود چقدر است؟
احتمال موفقیت در هر یک از 5 آزمایش مستقل 1/6 و احتمال عدم موفقیت 5/6 است.
رو آمدن 2 در اینجا به عنوان موفقیت تلقی شده است، در نتیجه:
داده های مساله:http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-8.jpg
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-10.jpg
← یک تیم فوتبال0/9 از پنالتی های خود را تبدیل به گل می کند،
احتمال اینکه این تیم 4 پنالتی از 5 پنالتی آخر خود را تبدیل به گل کند چقدر است؟
داده های مساله: x=4 , p=0/9 , q=0/1 , n=5
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-14.jpg
← در خانواده ای احتمال پسردار شدن 2 برابر احتمال دختردار شدن است.
اگر این خانواده دارای 10 فرزند باشد،
به چه احتمالی تعداد پسرهای این خانواده بیشتر از 8 تا است؟
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-15.jpghttp://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-16.jpg
احتمال اینکه این خانواده بیشتر از 8 تا پسر داشته باشد:
http://www.tizhosh.ir/files/majale%20dabirestan/md1/ehtemalat1/Untitled-11.jpg
منبع:www.tizhosh.ir