پيوستگي

[nafise sadeghi]

پیوستگی

توابع پیوسته

تابعی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png که بتوان نمودار آن را در هر بازه ای از دامنه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AF%D8%A7%D9%85%D9%86%D9%87) اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد مثالی از یک تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) پیوسته است. نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با x تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع مانند نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2e16d6781472c499a730575839b4b4c7.png در شکل (1) مقدار تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9518557c5531deeef034ad16fc6d45e.png حد (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%AF) مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است.یعنی :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e6df552a74ec9a6851bbaa5c7c270192.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/3/33/PEIVASTEGISH1.JPG

مقدار تابع در هر یک نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.در نقطه انتهایی چپ a :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b9ab3a504d8491d726cc47d6f47159f6.png

و در نقطه انتهایی راست b :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4d40897220ff9334ffd8e7e763318b44.png


پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png در یک نقطه داخلی از دامنه اش مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2e16d6781472c499a730575839b4b4c7.png پیوسته است اگر و فقط اگر :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d9bca3c85b8e025469cb11d4387a6422.png


پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش مانند a پیوسته است اگر و تنها اگر :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b6e018b91821abe0a73604fb69966be4.png

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش مانند b پیوسته است اگر و تنها اگر :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/06b6e3bd9474150d4c47193750b8bf1e.png


تابع پیوسته به بیان دیگر

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد گوییم f در c ناپیوسته است و c را یک نقطه ناپیوستگی f می خوانیم.

[nafise sadeghi]

آزمون پیوستگی

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9663ef75056ac4d4da5d3948efa45afa.png پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر درست باشد :
الف. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9518557c5531deeef034ad16fc6d45e.png وجود دارد. (c در دامنه f است.)
ب. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b274d64ce7b7fc83d6da76accf1d54ff.png وجود دارد. (f وقتی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1378082ab32034239ce72d5234b04bdb.png دارای حد است.)
ج. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/719d11fd489149ac37cccb95d2438a0d.png (این حد برابر با مقدار تابع است.)
در آزمون فوق اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2e16d6781472c499a730575839b4b4c7.png یک نقطه داخلی دامنه f باشد حد مورد نظر دوطرفه است و اگر c یک نقطه انتهایی دامنه باشد حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ یا راست) است.

قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته

اگر توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/76f96c2ddea68bb542327cdfef09d63e.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9663ef75056ac4d4da5d3948efa45afa.png پیوسته باشند آنگاه همه ترکیبات زیر در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9663ef75056ac4d4da5d3948efa45afa.png پیوسته اند :
1.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4fa006187b93c7edf7df7d8489fa6c2d.png

2.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0cf6d3242dfd2e4151be9c443d04c2c6.png

3.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/adbbdaa7d96aff5a185a624196389001.png

4.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d64ff8eb2e8fdbba0fcb305bf744d79c.png

[nafise sadeghi]

قضیه

هر تابع در هر نقطه ای که مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) داشته باشد در آن نقطه پیوسته است. یعنی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png در c دارای مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fa678370bed691a2f848a7810ee72021.png باشد آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8a652c9b3c4c2b62fa79490289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9663ef75056ac4d4da5d3948efa45afa.png پیوسته است.

قضیه

اگر f در c و g در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c9518557c5531deeef034ad16fc6d45e.png پیوسته باشند آنگاه تابع مرکب (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9+%D9%85%D8% B1%DA%A9%D8%A8) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2f137ec318ec8fd477e1306f4cbc5e7c.png در c پیوسته است.

قضیه ماکسیمم-مینیمم برای توابع پیوسته

اگر در هر نقطه از بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته باشد آنگاه f یک مقدار می نیمم m و یک مقدار ماکزیمم m http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png اختیار می کند. یعنی اعدادی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/891c516eb253efa09518d4ed809d1443.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png وجود دارند به طوری که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/18521af3f790475738ce93573286effb.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c83e349c7a6ca4eff28505513a23b8a0.png و برای هر نقطه مانند x در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png داریم :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f83480a5366343547460d78230c85ee5.png


قضیه مقدار میانی

اگر f در هر نقطه از بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته باشد و N عددی بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f64df5dc62a48de337a690d6845a8837.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ac7ddce8765150eba914bdf436262e4e.png باشد آنگاه دست کم یک نقطه c بین a,b وجود دارد که در آن نقطه f مقدار N را اختیار می کند. به شکل (2) توجه کنید.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/4/49/PEIVASTEGISH2.JPG