انتگرال نامعين

[nafise sadeghi]

انتگرال نامعین

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/26320f9d1a6d732658a647660ce6c64f.png پاد مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.pngباشد ، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.png به ازای هر مقدار ثابت c یک پاد مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png است.زیرا اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1eb395881a0b6ae5f12f348ee766fe4c.png آنگاه:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2323d46ac59e9d5048561767d7b41f2f.png


نکته

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4a58e1a2e7374ded8084db6218116d8b.pngجوابی برای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bfe445e85f3b398a2d60202c1f8fee58.png باشد ، فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/69b7c77e7665e4dc7c29a3b112042245.png همه جوابها را به دست می‌دهد.

انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png را انتگرال نامعین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.pngمی‌نام� �د و با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a988b1aad09e1b96a9705301e27d67be.png نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.pngهمه پادمشتق‌های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d7bb0b86d923a0b55f9e753e096eaeb6.png

تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را انتگرال ده انتگرال وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/79e09efba685c667efccfa7a9bae331c.png نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png است.

[nafise sadeghi]

خواص انتگرال


انتگرال مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) یک تابع مشتق‌پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png برابر است با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png به علاوه یک ثابت دلخواه.
یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.
فرمول های انتگرال گیری


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/525955f12e5b7a33f57874666ed70469.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e309747d67f1078a5efc1224934abbf7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/367433b5f726f65f09d43adb5e7d2606.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d2a1d9caa0152284e95baac9d2806559.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b8628263f2553ce3de4a6821f1df60cc.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/abdcc71c24fbd6ef90d0ff0e4535e6f5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7e3ade3aff64d6e4b75cc45bed27dd8d.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9dc2e0b1c8673784114c46a944888b5b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/039138de2ac86fee3459578b54ac7986.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/461d8576b11451dd8b95655402a6d809.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b21298968d31981c412367f23470d904.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ede7d77e9316efc1dc7b8026358a0ecb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f672cae9bfefa758e53c34ee417704b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ac991b22c2d8a19e1defebdeaf39781a.png

در این دستور‌ها http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e1cf550b859a1de8266066c0bc74f416.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/17ee98ad7ea5bad2177a3ba1abd953ea.png

[nafise sadeghi]

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eecdd13ed469625a62c837544d730cb7.png معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c5babf68baade29b50e4ded2a8a177d7.png از دامنه f را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fa85d9c195a218dce6fc0a5e48d7908e.png را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4d117a14a265dcc491e4d7a70eb3625.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e94c79ce3d009f8f05076090b4b1402e.png در معادله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png و حل آن نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png جوابی را یافت که از نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png بگذرد.به این ترتیب داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/79e7b95dcc0212995031702b19424b4d.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/64d3b050d0da2cdbab151ccc9456890b.png.
خم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cbfad94e3ef13fb75096addf48934ee0.png خمی است که از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png می‌گذرد.

انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای x تابع پیوسته و مشتق پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/32e2edba7789d9917cc8b1aff6784c53.png را قرار می دهیم، یعنی :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/789bc0525bd335db8f663c8979a55e56.png

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9+%D9%85%D8% B9%DA%A9%D9%88%D8%B3) ، به جای t نسبت به x قرار می‌دهیم . یعنی: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4d519d25200e47f93965cfdea25ef643.png
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4bc20eaf572296578640fd779604cd34.png


انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/51c3f909a5d4e4ab01b6ff2b925bd8ab.png موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن v,u توابعی مشتق‌پذیر از x هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا u را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png فرض می‌کنند