انتگرال معين

[nafise sadeghi]

دید کلی

برای آنکه بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.

مفهوم انتگرال معین

اولین مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال عبارت از مفهوم انتگرال می‌باشد. در این مبحث انتگرال را به عنوان اندازه مساحت سطحی که در زیر منحنی مفروض قرار گرفته است و به صورت حدی در نظر خواهیم گرفت اگر یک تابع مثبت و اتصالی y=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5cf99c47791481f93b303a1b9674a7cb.png داده شده باشد در این صورت مساحتی را در نظر می‌گیریم که در زیر این منحنی واقع است و از طرف پایین ، قطعه خطی واقع بر محور x ها محدود می‌شود که ما بین دو نقطه به طولهای a ، b و b>a واقع است و از طرفین به دو خط عمود بر محور xها که از این دو نقطه رسم شوند محدود است. هدف ما آن است که مساحت این سطح را که A نامیده می‌شود حساب کنیم.

انتگرال معین

نخست به تعریف مساحت ناحیه محصور بین نمودار یک تابع پیوسته نامنفی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/272dcaedce7b1285e60c95e2b2974f3e.png و بازه ای از محور http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png می پردازیم.
برای این منظور تا آنجا که می توانیم (طبق شکل 1) بخش هرچه بیشتری از این ناحیه را با مستطیل های محاطی قائم پر می کنیم. مجموع مساحت های مستطیل ها تقریبی است از مساحت ناحیه.هرچه تعداد مستطیل ها بیشتر باشد، تقریب بهتری به دست می آید. بنا به تعریف، مساحت این ناحیه، حد (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AD%D8%AF) مجموع مساحت های مستطیل هاست وقتی که مستطیل ها کوچک و کوچک تر شوند و تعداد آنها به سوی بی نهایت میل کند.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/8/8e/ANTEGRAL_MOAYAN1.JPG

حال اگر به جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی (مطابق شکل 2) و یا هر نوع دیگری از مستطیل ها که قاعده پایین آن ها بر محور http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d31b9ab65619dc0a054effb234c402f1.png ها منطبق و قاعده بالای آن ها خم را قطع کنند به کار ببریم، دقیقا" همان حد به دست می آید.
این نکته نیز شایان ذکر است که حد مجموع مساحت های این مستطیل ها نه تنها برای توابع پیوسته نا منفی – که بحثمان را با آن ها آغاز کردیم – بلکه برای هر تابع پیوسته ای وجود دارد.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/c/ca/ANTEGRAL_MOAYAN2.JPG

[nafise sadeghi]

مجموع انتگرال بالا – مجموع انتگرال پایین

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png را در نظر می گیریم که در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png تعریف شده است. عبارت


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3aa268e8362f27069d21cca9f77af506.png

را مجموع انتگرال این تابع گویند که در آن :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/25ef68e2beea3ee17dad260b8cf88106.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/49d10d9f60770d65945b0ea9a242e207.png

مجموع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5a2db805f0ceeae796be946939a46229.png را مجموع (انتگرال) بالا و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3811fba91bdd78f83103b6f0612ad9d4.png را مجموع (انتگرال) پایین نامند که در آن :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7a4a7b8f65cd39f82c6c774ca0de5df5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f28b2d3992cd8b091ec4b222a3f23f75.png


تابع انتگرال پذیر

حد مجموع انتگرال http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c20d355cbf9a9f56d101aa1f7cda9d1e.png وقتی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/123f957813c5be23ccc49f4692b6972f.png را انتگرال معین تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png گویند.
اگر این حد موجود باشد، تابع را در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png انتگرال پذیر گویند.
(نکته : هر تابع پیوسته انتگرال پذیر است.)

[nafise sadeghi]

محاسبه انتگرال معین با استفاده از دستور نیوتن-لایپنیتز

دستور زیر معروف به دستور نیوتن-لایپنیتز است :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/33f875bc526894e80bcfc363624d458e.png

که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4b823665c3b0b662ae55727a21206b18.png یک تابع اولیه تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png می باشد یعنی :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/da754fc822e937734fca7dd040578b0c.png


مزایای فرمول نیوتن- لایبنیتز

فرمول نیوتن- لابینیتز هنگامیکه یک تابع اولی تابع انتگرال (تابع زیر علامت انتگرال) معلوم باشد یک روش مناسب و عملی برای محاسبه انتگرالهای معین به دست می‌دهند. در حقیقت انتگرال معین فقط زمانی اهمیت کنونی خود را در ریاضیات کسب کرد که این فرمول توسط نیوتن- لایبنیتز کشف شد. اگر چه پیشینیان (ارشمیدس) از یک عمل مشابه‌ای برای محاسبه انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال آگاه بودند، کاربردهای این روش منحصر بود به حالتهای بسیار ساده‌ای که حد مجموع انتگرال می‌توانست مستقیما محاسبه شود. فرمول نیوتن- لایبنیتز دامنه کاربردهای انتگرال معین را تا حد زیاد گسترش داد، زیرا ریاضیات یک روش عمومی برای حل مسائل گوناگون خاصی بدست آورد، و بنابراین توانست بطور قابل ملاحظه‌ای حدود کاربردهای انتگرال معین را در صنعت ، مکانیک ، نجوم و غیره توسعه دهد.

تخمین یک انتگرال معین

1. اگر در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/88af94d51a4fafb570f7c4ead6eedc71.png داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/416bbe0b4e70959da9a2612ff09f5ed2.png آنگاه :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9d6b4ebaf01771915df60a765d95971b.png

و بویژه :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9974deb359065baa288777ef7cf8fd2c.png

2. اگر m کوچکترین و M بزرگترین مقدار تابع در فاصله a.b باشد، آنگاه :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/febdaa56b59c81a926d18068e5e8acfc.png

3.قضیه مقدار میانگین : اگر تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png در فاصله a.b پیوسته باشد، آنگاه :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/255c5e6777b31ef3801efef287065cf0.png

4. تعمیم قضیه مقدار میانگین : اگر توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/27285b14e092ff695d0ae0e71d35c5e7.png در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png پیوسته باشند و همچنین علامت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/27285b14e092ff695d0ae0e71d35c5e7.png در این فاصله ثابت بماند، آنگاه :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58b231b919922a3d48605ecaa9e39197.png

5.به ازای هر x از نقاط پیوستگی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%DA%A F%DB%8C) تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8e21bab376552fe573f53a0bdb691281.png داریم :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/de44ce0f365f240a011de9bbed74dfc1.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b8f3b389e36c74ab911a9a64bf5bd792.png

[nafise sadeghi]

تغییر متغیر در انتگرال معین

اگر تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f27339a1deb91195865bee90b044e9d1.png در شرایط زیر صدق کند :
الف. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d7aaac6508c909ea338aaa04e9fbca0d.png در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5e8dbbb497349ab5727feb1de4782a3f.png، تابعی پیوسته و یک مقداری بوده و در این فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93da48de87e24cd5fab736537a36f204.png نیز پیوسته باشد.
ب. اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0ce224de805126f572515674bd682521.png در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5e8dbbb497349ab5727feb1de4782a3f.png تغییر نماید، مقادیر تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/76e15d9b22212acb139650c882daf014.png از فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png خارج نشود.
ج. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8fa2f2e0d29e0eeb2ad2d1365fb0b274.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fd22d9f69d6cf601ae31bbc0232b78c3.png
آنگاه دستور تغییر متغییر در انتگرال معین برای هر تابع پیوسته در فاصله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e62d2a859fbc483943c9a2a16d682cba.png بصورت زیر اعمال می شود :


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/af56a951bbcb7d89f71e3c567c4bbf9a.png