nafise sadeghi
15th November 2008, 12:28 AM
اصل شمول و عدم شمول
بررسی اصل شمول و عدم شمول(اصل شمول وطرد) ما را یاری خواهد کرد تا فرمولی برای تعداد توابع پوشای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4caa0b2c921aeb7491da50461a8e0032.png، به ازای مجموعههای ناتهی متناهی A,B،بدست آوریم . دیگر کاربردهای این اصل ، ماهیت عام آن در ریاضیات ترکیباتی، به عنوان روشی غیر مستقیم برای حل مسایل شمارشی ، که در بسیاری از موقعیت های گوناگون پیش می آیند، آشکار می سازند.
ابتدا نمادهایی را برای بیان این اصل شمارشی جدید معرفی میکنیم . سپس با استدلالی ترکیباتی ، این اصل را بیان میکنیم.لذا با چند مثال این کار را شروع میکنیم.
فرض کنید http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.pngمجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) ای باشد ، که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/330c243b1df60988274d3470ff6ae557.png و همچنین فرض کنید http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/236a52f483c4acf2bf11a41246fffdb3.png مجموعه ای از ویژگی هایی باشند که برخی از عناصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png، ویا همه آنها در این شرایط صدق کنند.بعضی از عناصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png ممکن است در بیش از یک شرط صدق کنند.درحالیکه بعضی دیگرممکن است در هیچ یک از این شروط صدق نکنند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/34b26abf7987785edc9b8787e2414e31.png تعداد عناصری را نشان میدهد که در شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png صدق میکنند.( میدانیم که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0135c8dc7292164fd03ce9ddb0e014df.png).لازم به ذکر است که در اینجا ، هم عناصری را می شماریم که فقط در شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png صدق میکنند وهم عناصری که علاوه بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png در شرط دیگری مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/db74cb70dc48618aa92ff3a8ef1ef207.png صدق میکنند.
همچنین به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/36bef87b3344a064112a399a71746f76.png ، با شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/04f3a49883de0f92b870eed40ffd5f07.png ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2d02b009e14d20483f1c1938380b887b.png تعداد عناصری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png را نشان میدهد که همزمان در هر دو شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bdafa0a9a4e35d37362b855e670ccdfa.png و شاید هم در دیگر شرایط صدق کنند.در اینجا نیز لازم به ذکر است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2d02b009e14d20483f1c1938380b887b.png تعداد عناصری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png که فقط در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bdafa0a9a4e35d37362b855e670ccdfa.png ، صدق میکنند ، نیست.
بررسی اصل شمول و عدم شمول(اصل شمول وطرد) ما را یاری خواهد کرد تا فرمولی برای تعداد توابع پوشای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4caa0b2c921aeb7491da50461a8e0032.png، به ازای مجموعههای ناتهی متناهی A,B،بدست آوریم . دیگر کاربردهای این اصل ، ماهیت عام آن در ریاضیات ترکیباتی، به عنوان روشی غیر مستقیم برای حل مسایل شمارشی ، که در بسیاری از موقعیت های گوناگون پیش می آیند، آشکار می سازند.
ابتدا نمادهایی را برای بیان این اصل شمارشی جدید معرفی میکنیم . سپس با استدلالی ترکیباتی ، این اصل را بیان میکنیم.لذا با چند مثال این کار را شروع میکنیم.
فرض کنید http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.pngمجموعه (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%8 7) ای باشد ، که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/330c243b1df60988274d3470ff6ae557.png و همچنین فرض کنید http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/236a52f483c4acf2bf11a41246fffdb3.png مجموعه ای از ویژگی هایی باشند که برخی از عناصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png، ویا همه آنها در این شرایط صدق کنند.بعضی از عناصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png ممکن است در بیش از یک شرط صدق کنند.درحالیکه بعضی دیگرممکن است در هیچ یک از این شروط صدق نکنند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/34b26abf7987785edc9b8787e2414e31.png تعداد عناصری را نشان میدهد که در شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png صدق میکنند.( میدانیم که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0135c8dc7292164fd03ce9ddb0e014df.png).لازم به ذکر است که در اینجا ، هم عناصری را می شماریم که فقط در شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png صدق میکنند وهم عناصری که علاوه بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5731e99ef155a217aa09109bded9cf1c.png در شرط دیگری مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/db74cb70dc48618aa92ff3a8ef1ef207.png صدق میکنند.
همچنین به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/36bef87b3344a064112a399a71746f76.png ، با شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/04f3a49883de0f92b870eed40ffd5f07.png ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2d02b009e14d20483f1c1938380b887b.png تعداد عناصری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png را نشان میدهد که همزمان در هر دو شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bdafa0a9a4e35d37362b855e670ccdfa.png و شاید هم در دیگر شرایط صدق کنند.در اینجا نیز لازم به ذکر است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2d02b009e14d20483f1c1938380b887b.png تعداد عناصری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png که فقط در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bdafa0a9a4e35d37362b855e670ccdfa.png ، صدق میکنند ، نیست.