تقسيم پذيري

[nafise sadeghi]

مفهوم عاد کردن

گوییم عدد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.pngعدد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png را عاد می‌کند یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.png عدد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png را می‌شمارد و یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.png مقسوم علیه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png است یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png مضرب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.png است و یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.png بخش‌پذیر است ، هر گاه عدد صحیحی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD) مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png موجود باشد ، بطوریکه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1dd2e34e5f7df1f06c074c561e3e4b5e.png . نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png به این معنی است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cc4720ede645968f0519694d37bbe1d9.png عدد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png را عاد می‌کند.
خواص بدیهی بخش‌پذیری در قضیه زیر خلاصه می‌شود:

[nafise sadeghi]

قضیه


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/07d5d083408cf4e102166ad818f3b7b2.png نتیجه می‌دهد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5189488733a4adc4cda3fa9c8a9b3539.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png ایجاب می‌کند که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ea8486401a705d63b57981c72cad3876.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/158f708d1e7f70ff65cb91d1bdd5e623.png نتیجه می‌دهند که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/07d5d083408cf4e102166ad818f3b7b2.png
فرض می‌کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/689937d58e91b966c4b5b374f6af5a1b.png . در اینصورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png ایجاب می‌کند که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8da92fa3fa12a1a0abae9e40504363ee.png.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e24ebb6a607bbadc6d342e68be14bcd1.png نتیجه می‌دهد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/722f3e0fc371cd66c19745af2814f0a8.png

[nafise sadeghi]

اثبات


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png به این معنی است که عدد صحیح (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%B9%D8%AF%D8%AF+%D8%B5%D8%AD%DB% 8C%D8%AD)http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png وجود دارد ، بطوریکه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/319d05aa5f2a19b6851edb3483c772c0.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/07d5d083408cf4e102166ad818f3b7b2.png به این معنی است که عدد صحیح http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b7c14157d5b5e29a8971a973326feb02.png وجود دارد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/097b403b057ac266848edb80255d9be0.png . بنابراین :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/402907dbf3baba5adedcacde2c0cb092.png



از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png نتیجه می‌شود که عدد صحیح http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9941c39ca7e5e3914f169b284c7b2661.png وجود دارد ، بطوریکه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0dbc5c55fc4b791c358994e499026be3.png. بنابراین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/593a4a3789c05cfe51acbf2e6f5b301b.png



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png یعنی عدد صحیح http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9941c39ca7e5e3914f169b284c7b2661.png وجود دارد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0dbc5c55fc4b791c358994e499026be3.png و همچنین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/158f708d1e7f70ff65cb91d1bdd5e623.png نتیجه می‌دهد ، عدد صحیحی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7ff2ebf898ceb86158ab86da46aaaa65.png وجود دارد ، که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d0ed8a81fa791cffc1cd8c0dc376b219.png . حال به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7d33858e56c48ad7906d94cbcff4a5d0.png در رابطه اول،رابطه دوم را قرار می‌دهیم و از آنجا:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/38c6d0d9a879724230d68cdc233b571d.png

[nafise sadeghi]

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png یعنی عدد صحیحی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png وجود دارد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1dd2e34e5f7df1f06c074c561e3e4b5e.png. چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d32608464d69f94dfb3f1231c0c4194e.png ، پس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2b943ba75569720226cde7cb9a0a543b.png. بنابراین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1dd2e34e5f7df1f06c074c561e3e4b5e.png به این معنی است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8da92fa3fa12a1a0abae9e40504363ee.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f9007ccec3fec443efb0c56c5d7d2c23.png نتیجه می‌دهد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/08b3bbf212457cd69cf76abfcf69dcf1.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e24ebb6a607bbadc6d342e68be14bcd1.png نتیجه می‌دهد که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/aaa099ae6589175c6ebb58fc42831040.png.اما چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/808b8d1bda28fb11582e47de3b49f8fd.png ، پس طبق بند فوق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/08b3bbf212457cd69cf76abfcf69dcf1.png نتیجه می‌دهدhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a24989b651baf10acc2dfa286e0499fd.png و از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/aaa099ae6589175c6ebb58fc42831040.png می‌توان نتیجه گرفت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/862b5b5c9fa70703bb62f7a3cd0f9998.png. بنابراین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/dcbaaf803f78b503c4ba2c585fc6b52e.pngو درنهایت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f823da3d5c2fa3d3380e9e5b3176c418.png