يكي از ويژگي هاي جالب مثلث خيام-پاسكال

[Outta_Breathe1020]

اكثر شما مطمئنا با مثلث خيام - پاسكال آشنايي داريد و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1<n و 0<n>k ) .در اين جا،چند رديف از اين مثلث را آورده ايم :


http://anjoman.ir/Images/Public/200773191056_pascal1.JPG
لم: در رديف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت http://anjoman.ir/Images/Public/200773194750_pas1.gif است.
براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي http://anjoman.ir/Images/Public/2007730121015_pas3.gif، داريم :http://anjoman.ir/Images/Public/2007730122340_pas4.gif.
اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).
بنابراين مي توان مثلث خيام - پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت:

http://anjoman.ir/Images/Public/2007730123753_PascalCount.gif
قضيه:در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي http://anjoman.ir/Images/Public/2007730125927_pas15.gif داريم : http://anjoman.ir/Images/Public/200773013166_pas16.gif
مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0<n>k>m داريم : http://anjoman.ir/Images/Public/2007730133542_pas24.gif.
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=(http://anjoman.ir/Images/Public/2007730135944_pas26.gif) با توجه به رابطه ي (2)، http://anjoman.ir/Images/Public/200773015330_pas19.gifعاد مي‌كند http://anjoman.ir/Images/Public/2007730144620_pas25.gifرا .چون http://anjoman.ir/Images/Public/2007730135944_pas26.gifنسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس http://anjoman.ir/Images/Public/200773015330_pas19.gifعاد مي‌كندhttp://anjoman.ir/Images/Public/200773110383_pas17.gif را، ولي اين ممكن نيست چرا كه http://anjoman.ir/Images/Public/2007731105255_pas27.gif.
به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.



منبع:http://www.anjoman.ir/