مثلثات

[hoora]

مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/c/c4/trigonometry.gif

تاریخچه

اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.

کاربردها

علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود.

[hoora]

دایره مثلثاتی (http://4tmu.ir/forum/index.php?topic=4192.msg17029#msg17029)

در ریاضیات دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد است. x و y دو مختصه روی این دایره هستند که بنا به تعریف دایره:

x2 + y2 = 1

نقطه (x, y) روی این دایره با (۰, ۰) زاویه‌ای می‌سازد که از روابط زیر بدست می‌آید:

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/d/15daf0e846522e50d296342553e84503.png

http://upload.wikimedia.org/math/1/7/c/17c34d3c9a93faa399617c2cb12ad7e9.png



http://shup.com/Shup/202876/DM.PNG



دایره مثلثاتی با نمایش زاویه t در نقطه (x, y)

بنابر این خواهیم داشت:

http://upload.wikimedia.org/math/8/a/f/8af357e47cae10e939ac1067260a41e4.png

و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس دوره‌ای (پریودیک) هستند:

http://upload.wikimedia.org/math/9/6/3/96358003f3e017d23b7ae64985158305.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/5/e/85ec2ecbc3032e78bb5a75e2a418fb6c.png

که در آن k عددی صحیح است. سایر توابع مثلثاتی نظیر تانژانت و کتانژانت و سکانت و کسکانت را می‌توان به همین ترتیب بدست آورد.




http://shup.com/Shup/202877/DM2.PNG



نمایش توابع مثلثاتی در دایره مثلثاتی

[hoora]

فرمول‌های مهم مثلثات (http://4tmu.ir/forum/index.php?topic=4207.0)


فرمول های مهم مثلثات برای تبدیل و محاسبه



http://upload.wikimedia.org/math/4/9/7/497801cc21dc943f973022977778552f.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/4/c/64ca2a16855429217afbade7d5de2062.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/2/d/d2d58ec199f80f8feaf975ed54d753e3.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/4/8/f484a835b81412ae6498685b89550cad.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/0/1/501e0027f9db035d490bed1d8ab31d26.png

http://upload.wikimedia.org/math/e/f/1/ef12580d7921c8321aa632f8ee73a879.png

http://upload.wikimedia.org/math/2/7/b/27bbd534251f56495fddacf3cfa041d9.png

http://upload.wikimedia.org/math/b/f/e/bfed1a7a515ee338eb92657bcd8a588f.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/2/b/d2bb6061f64e8a1ce5dc69729c384505.png




ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ



(فرمول طلایی)



http://upload.wikimedia.org/math/d/8/6/d861033def85a11916d1ee5989f678c9.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/c/a/dca63b0a508cad9c0d10464c797e10c3.png




ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ



(تبدیل ضرب به جمع)



http://upload.wikimedia.org/math/5/c/5/5c5fef00be1c27476e022dc0ab3c5dcc.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/3/8/c384bfa506c74a7f182a852e5ee41029.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/7/a/87acfe6eb052c46363ce585e55123c31.png




ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ



(تبدیل جمع به ضرب)



http://upload.wikimedia.org/math/6/b/b/6bbc8e036ab2c0ccdd9e20452bf2d231.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/5/d/f5dd8e0f04b4444f5139e54ae9de1b05.png

http://upload.wikimedia.org/math/0/a/7/0a795ab11d2fb7084fb8f1aacbf5fbb3.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/4/9/d49a9e24201cba5f6bfb7d7e8b2aedc4.png




ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ



نسبت های مثلثاتی بر حسب http://upload.wikimedia.org/math/9/6/6/966fbe258ca53fef6df91b27f215b73c.png



http://upload.wikimedia.org/math/0/e/3/0e3ff0b66761ea9186de9900c9b6976c.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/5/c/55cf0b0abf23ee681208f9cdb9c0d22f.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/d/9/6d91ef663bdf2e3833ca9f141e33dc6c.png




ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ



فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند



http://upload.wikimedia.org/math/e/7/7/e7767595839838fa45be2ee14b06fbcb.png

[hoora]

قانون کسینوس‌ها (http://4tmu.ir/forum/index.php?topic=4207.msg17151#msg17151)

در مثلثات قانون کسینوس‌ که به نام‌ قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:



http://upload.wikimedia.org/math/a/2/c/a2c3a9527af895a3fa6e8e9d0bb1b30d.png

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/3/b13f51c28097f005fedf17e5e54feaa6.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/5/e/f5e7ac224e943897617704077a13dd7b.png


http://upload.wikimedia.org/math/4/d/8/4d8d17cae0a354660b66327415507651.png





http://shup.com/Shup/210840/Capture.PNG

[hoora]

نسبت های مثلثاتی (http://4tmu.ir/forum/index.php?topic=4234.msg17154#msg17154)

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث زیر داریم:



http://shup.com/Shup/202882/Sin1.PNG



http://upload.wikimedia.org/math/d/a/0/da0e7f20d900b724a80f82c3c33f6427.png http://upload.wikimedia.org/math/5/8/b/58b7ac02405fd86f8023d66469476556.png

تغییرات سینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:



http://shup.com/Shup/202883/Sin2.PNG


تابع سینوس
تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد.




http://shup.com/Shup/202885/Sin3.PNG

.................................................. ....................

کسینوس
کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جیب تمام بوده‌است.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Ciclo.png


تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:


http://shup.com/Shup/202886/Cos1.PNG


http://upload.wikimedia.org/math/5/8/b/58b7ac02405fd86f8023d66469476556.png http://upload.wikimedia.org/math/d/a/0/da0e7f20d900b724a80f82c3c33f6427.png


می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند http://upload.wikimedia.org/math/e/7/a/e7ac5aa4d0a7856ce5d44eaa87fe650a.png. پس داریم:



http://upload.wikimedia.org/math/b/e/8/be88d6c31ad79937ca007a97cc6c08d5.png


http://upload.wikimedia.org/math/6/0/c/60c056719f299ac66db942ecd8ccac62.png


تغییرات کسینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:



http://shup.com/Shup/202887/Cos2.PNG


تابع کسینوس
تابع کسینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه کسینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = cosx گویاست که این تابع متناوب بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد. تابع کسینوس تابعی زوج می‌باشد.



http://shup.com/Shup/202888/Cos3.PNG
.................................................. .................................

تانژانت
تانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.


http://shup.com/Shup/202895/Tan1.PNG


تاریخچه
ظل (از عربی، به معنای سایه) اصطلاحی است که در گذشته در متن‌های اسلامی و ایرانی برای تانژانت در ریاضیات و اخترشناسی به‌کار می‌رفت.
ستاره‌شناسی به نام حبش‌بن حاسب اولین بار در قرن سوم هجری قمری (قرن نهم میلادی) این نسبت مثلثاتی را به کار برد. در گذشته به آن ظل می‌گفتند.


تعریف
تانژانت در مثلث قائم‌الزاویه چنین تعریف می‌شود؛ نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به ضلع مجاور آن.

به عنوان مثال در مثلث روبه‌رو تانژانت زاویه تتا برابر است با http://upload.wikimedia.org/math/2/8/5/2851d5ab79a2ee883297aadf08091a29.png.



http://shup.com/Shup/202896/Tan2.PNG


تابع تانژانت
نمودار تابع تانژانت به شکل زیر است. این تابع:

* پیوسته نیست.
* متناوب است (با دوره تناوب π).
* دارای بینهایت مجانب عمودی است.



http://shup.com/Shup/202897/Tan3.PNG


شیب خط
در نمودار‌هایی که شکل یک تابع را نشان می‌دهند شیب نمودار (یا خط مماس بر نمودار) در هر نقطه برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط مماس بر آن نقطه از منحنی، با جهت مثبت محور افقی (محور xها) می‌سازد.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Wag_65-1_tangent_line.jpg
.................................................. .........................

کتانژانت

کتانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که در ریاضیات و اخترشناسی کاربرد فراوان دارد و در گذشته به آن ظل تمام می‌گفتند.

این نسبت مثلثاتی چنین تعریف می‌شود: نسبت ضلع مجاور به زاویه حاده، به ضلع مقابل آن در مثلث قائم‌الزاویه.


http://4tmu.ir/forum/Themes/Outline/images/icons/assist.gifاین عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 647 در 618 و 43KB بوده است.http://shup.com/Shup/202890/Cot.PNG