تفاضل دو بردار در مقايسه با اندازه آن دو بردار

[ریپورتر]

جمع و تفريق بردارها با جمع و تفريق جبري تفاوت اساسي دارد. تا وضع دو بردار را ندانيم، نمي‌توانيم بگوييم از جمع و تفريق آنها چه برداري بدست خواهد آمد. سوالي كه مطرح است اين است كه آيا حاصل تفريق دو بردارمي‌تواند از اندازه آن دو بردار بزرگتر باشد؟ در جواب بايد گفت كه بله امكان دارد.

http://tbn3.google.com/images?q=tbn:bYiDeN9V6VrZ_M:http://dept.physics.upenn.edu/courses/gladney/phys150/lectures/images/vector_components.gif


مي‌توان نشان داد كه اندازه تفريق دو بردار a و b كه با هم زاويه θ درست مي‌كنند، از رابطه زير بدست مي‌آيد:

|a-b|=√a2 + b2 – 2abcosθ b

مي‌خواهيم زاويه‌اي را پيدا كنيم كه به ازاي زواياي كوچكتر از آن، تفاضل دو بردار حداقل از يكي از بردارها كوچك باشد. براي زواياي بزرگتر از ۹۰ درجه، چون كسينوس منفي است، داخل راديكال حتما از a و b بزرگتر خواهد بود. پس زاويه موردنظر يك زاويه حاده است. فرض كنيد b>a ؛ در اين صورت مي‌توان براي θ محدوده‌اي را پيدا كرد كه به ازاي آن تفاضل دو بردار مساوي يا كوچكتر از b باشد:

b≥√a2 + b2 – 2abcosθ

طرفين را به توان دو رسانده و ساده كنيم، بدست مي‌آوريم:

cosθ≥a/2b=cosβ

پس براي زواياي θ≤β ، تفاضل دو بردار حداقل از b (بردار بزرگتر) كوچكتر خواهد بود. مثلا در حالت خاص كه a=b باشد، β=60 است.