a.shina
10th September 2015, 12:47 AM
هدف :
در این مطلب با فرض بر این که مطالب راجع به دینامیک و اصول اولیه نوسان فرا گرفته شده است، می توان معادله حرکت، سرعت و شتاب را برای یادگیری بیشتر راجع به نوسان مطرح کرد.
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095927786_1.jpg
شرح:
همان طور که در بحث حرکت آونگ 2 دیدیم، معادله حرکت نوسانی ساده با توجه به شکل به صورت زیر است:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928161_2.jpg
البته باید توجه کرد که جابجایی نوسانگر در جهت افقی است یا عمودی. مثلا در مورد شکل بالا ، حرکت گوی بسته شده به فنر در جهت عمودی و محور y هاست. اگر بخواهیم به معادله کلی نوسان اشاره کنیم باید بدانیم که شکل کلی معادله موج به صورت زیر است:
Ψ ( x , t ) = A sin ( ω t ± k x )
Ψ ( x , t ) تابع موج وابسته به مکان و زمان است و همان نقش X یا Y معادلات ساده قبلی را دارد. A دامنه نوسان موج و ω سرعت زاویه ای موج است. نماد k عدد موج است و بعدا توضیح خواهیم داد که از چه طریقی وارد این معادله شده است.
مهم ترین بحث این است که تفاوت بین رفتار مکانی و زمانی را بدانیم. به شکل 123 دقت کنید که نشان دهنده ی موج سینوسی است که از چپ به راست در حال نوسان است. نقطه قرمز روی نمودار هم نشان دهنده ی رفتار زمانی یک نقطه در یک مکان مشخص است:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095927841_123.gif
در قسمت پایین شکل بالا سمت چپ، نموداری را می بینیم که نشان دهنده ی اتفاقاتی است که در طول زمان برای جابجایی نقطه قرمز می افتد. پس این شکل موج را به عنوان تابعی از زمان برای یک مکان مشخص نشان می دهد. در چند ثانیه اول اتفاق خاصی نمی افتد تا این که لبه موج در حال انتشار به نقطه قرمز برسد. در این نقطه ، موقعیت به بالا و پایین نوسان می کند و بعد از این که موج رد شد، باز هم جابجایی صفر می شود.
نمودار سمت راست عکسی از موج در لحظه t=27 s را نشان می دهد. نمودار این شکل تا لحظه 26 ثانیه خالی است؛ سپس به یکباره نمودار ظاهر می شود. این شکل نیز موج را به صورت تابعی از مکان در زمان معین نشان می دهد.
این مطلب به این دلیل مطرح شد که درک کلی از نمودار موج در حال نوسان داشته باشید تا معادلات دیگری چون انرژی و سرعت و شتاب نوسانگر را با تصور ذهنی بهتری یاد بگیرید.
حال شکل زیر را در نظر بگیرید:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928191_3.jpg
معادله ساده حرکت آن را به صورت زیر تصور کنید:
x(t) = Asin(ωt)
جابجایی اولیه را صفر در نظر می گیریم تا کارمان راحت تر شود. اگر از این معادله مشتق بگیریم، معادله سرعت نوسانگر به دست می آید:
v(t) = dx(t)/dt = ωAcos(ωt)
معادله شتاب نوسانگر نیز با مشتق گرفتن از معادله سرعت به صورت زیر است:
a(t) = dv(t)/dt = -ω2Asin(ωt) = -ω2x
البته معادله شتاب همیشه به صورت ساده x(t) = Asin(ωt) نیست ؛ بلکه هم جابجایی اولیه x0 را صفر در نظر گرفتیم و هم فاز اولیه φ. معادله کلی و عمومی با در نظر گرفتن فاز به صورت x(t) = x0 + Asin(ωt + φ) تعریف می شود/
فاز φ با استفاده از شرایط اولیه حرکت تعیین می شود. به عنوان مثال اگر در لحظه t=0 جسم در بیشترین فاصله از جهت مثبت محور xها باشد، پس φ=0 است. اگر در لحظه t=0، جسم نوسان کننده در بیشترین جابجایی خود در جهت منفی محور xها قرار داشته باشد، φ=π خواهد بود و اگر در t=0، جسم در حال عبور از وضعیت تعادلی خود با حداکثر سرعت و در جهت منفی محور xها باشد، φ=π/2 خواهد بود.
کمیت ωt + φ را فاز یا کل زاویه ای که موج نوسانی با آن تغییر می کند، می نامند.
در شکل زیر مکان و سرعت نوسانگر به صورت تابعی از زمان با دوره تناوب T=5s نشان داده شده است. دامنه نوسان و حداکثر سرعت را اعدادی اختیاری تصور کنید که به فاز ارتباطی ندارند. در بیشترین فاصله نوسانگر از مبدا یا مکان تعادل، سرعت صفر است و در بیشترین سرعت نوسانگر، جابه جایی صفر است.
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928268_4.jpg
حرکت نوسانی ساده ای که در شکل مشاهده می کنید ، همیشه یک حرکت شتابدار است. پس باید قانون دوم نیوتن را برای آن بازنویسی کنیم:
F = ma = -mω2x
و چون حرکت نوسانگر از قانون هوک تبعیت می کند، خواهیم داشت:
F = -kx که در آن k = mω2 است.
F = ma = md2x/dt2 با F = -kx به معادله درجه دو زیر منجر می شود:
d2x/dt2 = -(k/m)x
شما در درس ریاضی خود می دانید که چگونه باید یک معادله درجه 2 را حل کرد. جواب های این معادله همیشه شکل یکسانی دارند و به صورت(((x(t) = Asin(ωt + φ) +یک عدد اختیاری ))) خواهند بود.
سوال1:
یک ذره 20 گرمی در حال حرکت نوسانی ساده است و با فرکانس 3 نوسان در هر ثانیه، دامنه نوسانی 5 سانتی متری دارد.
الف) ذره در طول یک دور حرکت خود چه مسافت کلی را طی می کند؟
ب) بیشترین سرعت ذره چقدر است و در چه نقاطی اتفاق می افتد؟
ج) بیشترین شتاب ذره را پیدا کنید و بگویید در چه نقاطی ذره بیشترین شتاب را دارد؟
حل :
جواب الف) مسافت کلی که ذره در طول یک دور حرکت خود دارد،
از x = -A تا x = +A (در حالت رفت) و برگشت از x = +A تا x = -A ؛ بنابراین کل مسافتی که ذره در یک دور حرکت طی می کند، d = 4A = 20 cm خواهد بود.
جواب ب) بیشترین سرعت ذره vmax = ωA = 2πfA = 2π 15 cm/s = 0.94 m/s است.
زمانی که ذره از نقطه تعادلی خود عبور میکند، بیشترین سرعت را دارا خواهد بود.
جواب ج) بیشترین شتاب ذره amax = ω2A = (2πf)2A = 17.8 m/s2 است و ذره در نقاط برگشتی یعنی در حالتی که بیشترین جابه جایی را دارد، بیشترین شتاب را داراست.
سوال 2:
جرم یک کیلوگرمی به یک فنر با ثابت فنر 25 N/m متصل شده و در یک مسیر بدون اصطکاک افقی نوسان می کند. در لحظه t=0 جرم از نقطه x = -3 cm رها می شود و فنر حدود 3 سانتی متر فشرده می شود. اگر از جرم خود فنر صرف نظر کنیم، موارد زیر را محاسبه کنید:
الف) دوره تناوب حرکت
ب) بیشترین مقدار سرعت و شتاب
ج) جابجایی ، سرعت و شتاب به عنوان تابعی از زمان
جواب الف)
http://img1.tebyan.net/small/1394/06/20150907095928304_5.jpg
جواب ب) سرعت زاویه ای از رابطه ω2=k/m خواهد بود: ω =5 s.
و vmax = ωA = 15 cm/s
و amax = ω2A = 0.75 m/s2.
ج) معادلات حرکت و سرعت و شتاب خواهند بود:
x(t) = Asin(ωt + φ) = (3 cm) sin((5/s)t + π) = -(3 cm)sin((5/s)t)
و
v(t) = ωAcos(ωt + φ) = -(15 cm/s)cos((5/s)t)
و
a(t) = -ω2Asin(ωt + φ) = (0.75 m/s2)sin((5/s)t).
در این مطلب با فرض بر این که مطالب راجع به دینامیک و اصول اولیه نوسان فرا گرفته شده است، می توان معادله حرکت، سرعت و شتاب را برای یادگیری بیشتر راجع به نوسان مطرح کرد.
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095927786_1.jpg
شرح:
همان طور که در بحث حرکت آونگ 2 دیدیم، معادله حرکت نوسانی ساده با توجه به شکل به صورت زیر است:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928161_2.jpg
البته باید توجه کرد که جابجایی نوسانگر در جهت افقی است یا عمودی. مثلا در مورد شکل بالا ، حرکت گوی بسته شده به فنر در جهت عمودی و محور y هاست. اگر بخواهیم به معادله کلی نوسان اشاره کنیم باید بدانیم که شکل کلی معادله موج به صورت زیر است:
Ψ ( x , t ) = A sin ( ω t ± k x )
Ψ ( x , t ) تابع موج وابسته به مکان و زمان است و همان نقش X یا Y معادلات ساده قبلی را دارد. A دامنه نوسان موج و ω سرعت زاویه ای موج است. نماد k عدد موج است و بعدا توضیح خواهیم داد که از چه طریقی وارد این معادله شده است.
مهم ترین بحث این است که تفاوت بین رفتار مکانی و زمانی را بدانیم. به شکل 123 دقت کنید که نشان دهنده ی موج سینوسی است که از چپ به راست در حال نوسان است. نقطه قرمز روی نمودار هم نشان دهنده ی رفتار زمانی یک نقطه در یک مکان مشخص است:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095927841_123.gif
در قسمت پایین شکل بالا سمت چپ، نموداری را می بینیم که نشان دهنده ی اتفاقاتی است که در طول زمان برای جابجایی نقطه قرمز می افتد. پس این شکل موج را به عنوان تابعی از زمان برای یک مکان مشخص نشان می دهد. در چند ثانیه اول اتفاق خاصی نمی افتد تا این که لبه موج در حال انتشار به نقطه قرمز برسد. در این نقطه ، موقعیت به بالا و پایین نوسان می کند و بعد از این که موج رد شد، باز هم جابجایی صفر می شود.
نمودار سمت راست عکسی از موج در لحظه t=27 s را نشان می دهد. نمودار این شکل تا لحظه 26 ثانیه خالی است؛ سپس به یکباره نمودار ظاهر می شود. این شکل نیز موج را به صورت تابعی از مکان در زمان معین نشان می دهد.
این مطلب به این دلیل مطرح شد که درک کلی از نمودار موج در حال نوسان داشته باشید تا معادلات دیگری چون انرژی و سرعت و شتاب نوسانگر را با تصور ذهنی بهتری یاد بگیرید.
حال شکل زیر را در نظر بگیرید:
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928191_3.jpg
معادله ساده حرکت آن را به صورت زیر تصور کنید:
x(t) = Asin(ωt)
جابجایی اولیه را صفر در نظر می گیریم تا کارمان راحت تر شود. اگر از این معادله مشتق بگیریم، معادله سرعت نوسانگر به دست می آید:
v(t) = dx(t)/dt = ωAcos(ωt)
معادله شتاب نوسانگر نیز با مشتق گرفتن از معادله سرعت به صورت زیر است:
a(t) = dv(t)/dt = -ω2Asin(ωt) = -ω2x
البته معادله شتاب همیشه به صورت ساده x(t) = Asin(ωt) نیست ؛ بلکه هم جابجایی اولیه x0 را صفر در نظر گرفتیم و هم فاز اولیه φ. معادله کلی و عمومی با در نظر گرفتن فاز به صورت x(t) = x0 + Asin(ωt + φ) تعریف می شود/
فاز φ با استفاده از شرایط اولیه حرکت تعیین می شود. به عنوان مثال اگر در لحظه t=0 جسم در بیشترین فاصله از جهت مثبت محور xها باشد، پس φ=0 است. اگر در لحظه t=0، جسم نوسان کننده در بیشترین جابجایی خود در جهت منفی محور xها قرار داشته باشد، φ=π خواهد بود و اگر در t=0، جسم در حال عبور از وضعیت تعادلی خود با حداکثر سرعت و در جهت منفی محور xها باشد، φ=π/2 خواهد بود.
کمیت ωt + φ را فاز یا کل زاویه ای که موج نوسانی با آن تغییر می کند، می نامند.
در شکل زیر مکان و سرعت نوسانگر به صورت تابعی از زمان با دوره تناوب T=5s نشان داده شده است. دامنه نوسان و حداکثر سرعت را اعدادی اختیاری تصور کنید که به فاز ارتباطی ندارند. در بیشترین فاصله نوسانگر از مبدا یا مکان تعادل، سرعت صفر است و در بیشترین سرعت نوسانگر، جابه جایی صفر است.
http://img1.tebyan.net/big/1394/06/20150907095928268_4.jpg
حرکت نوسانی ساده ای که در شکل مشاهده می کنید ، همیشه یک حرکت شتابدار است. پس باید قانون دوم نیوتن را برای آن بازنویسی کنیم:
F = ma = -mω2x
و چون حرکت نوسانگر از قانون هوک تبعیت می کند، خواهیم داشت:
F = -kx که در آن k = mω2 است.
F = ma = md2x/dt2 با F = -kx به معادله درجه دو زیر منجر می شود:
d2x/dt2 = -(k/m)x
شما در درس ریاضی خود می دانید که چگونه باید یک معادله درجه 2 را حل کرد. جواب های این معادله همیشه شکل یکسانی دارند و به صورت(((x(t) = Asin(ωt + φ) +یک عدد اختیاری ))) خواهند بود.
سوال1:
یک ذره 20 گرمی در حال حرکت نوسانی ساده است و با فرکانس 3 نوسان در هر ثانیه، دامنه نوسانی 5 سانتی متری دارد.
الف) ذره در طول یک دور حرکت خود چه مسافت کلی را طی می کند؟
ب) بیشترین سرعت ذره چقدر است و در چه نقاطی اتفاق می افتد؟
ج) بیشترین شتاب ذره را پیدا کنید و بگویید در چه نقاطی ذره بیشترین شتاب را دارد؟
حل :
جواب الف) مسافت کلی که ذره در طول یک دور حرکت خود دارد،
از x = -A تا x = +A (در حالت رفت) و برگشت از x = +A تا x = -A ؛ بنابراین کل مسافتی که ذره در یک دور حرکت طی می کند، d = 4A = 20 cm خواهد بود.
جواب ب) بیشترین سرعت ذره vmax = ωA = 2πfA = 2π 15 cm/s = 0.94 m/s است.
زمانی که ذره از نقطه تعادلی خود عبور میکند، بیشترین سرعت را دارا خواهد بود.
جواب ج) بیشترین شتاب ذره amax = ω2A = (2πf)2A = 17.8 m/s2 است و ذره در نقاط برگشتی یعنی در حالتی که بیشترین جابه جایی را دارد، بیشترین شتاب را داراست.
سوال 2:
جرم یک کیلوگرمی به یک فنر با ثابت فنر 25 N/m متصل شده و در یک مسیر بدون اصطکاک افقی نوسان می کند. در لحظه t=0 جرم از نقطه x = -3 cm رها می شود و فنر حدود 3 سانتی متر فشرده می شود. اگر از جرم خود فنر صرف نظر کنیم، موارد زیر را محاسبه کنید:
الف) دوره تناوب حرکت
ب) بیشترین مقدار سرعت و شتاب
ج) جابجایی ، سرعت و شتاب به عنوان تابعی از زمان
جواب الف)
http://img1.tebyan.net/small/1394/06/20150907095928304_5.jpg
جواب ب) سرعت زاویه ای از رابطه ω2=k/m خواهد بود: ω =5 s.
و vmax = ωA = 15 cm/s
و amax = ω2A = 0.75 m/s2.
ج) معادلات حرکت و سرعت و شتاب خواهند بود:
x(t) = Asin(ωt + φ) = (3 cm) sin((5/s)t + π) = -(3 cm)sin((5/s)t)
و
v(t) = ωAcos(ωt + φ) = -(15 cm/s)cos((5/s)t)
و
a(t) = -ω2Asin(ωt + φ) = (0.75 m/s2)sin((5/s)t).