ترکیبیات

[Only Math]

ترکیبیات ، ریاضیات انتخاب و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخه های جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائل شمارش ، گرافها ، بازیها و نیز مسائل ساختاری روی مجموعه ها متناهی می پردازد. از جمله کاربردهای مهم این شاخه میتوان به استفاده آن در برنامه نویسی کامپیوتر و الگوریتم ها اشاره کرد.
یکی از مسائلی که ترکیبیات را از دیگر شاخه های ریاضی متمایز میکند این است که آموختن آن نیاز به اطلاعات خاصی از ریاضیات ندارد و داشتن معلومات ریاضی دوره راهنمایی نیز برای درک آن کافی به نظر می رسد چرا که ریشه های ترکیبیات در واقع به مسائل معماگونه ریاضی و بازیها میرسد. بسیاری از مسائل ترکیبیات که در گذشته برای تفریح بررسی شده اند امروزه اهمیت زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارند.
در قرن اخیر ترکیبیات به یکی از مهمترین شاخه های ریاضیات تبدیل شده و مرزهای آن همواره گسترش پیدا می کند که یکی از مهمترین علل این گسترش سریع ، اختراع کامپیوتر می باشد:
به علت سرعت بالای کامپیوترها بسیاری از مسائلی که قبلا قابل بررسی نبودند ، بررسی شدند. البته تقابل کامپیوتر و ترکیبیات یک طرفه نبوده است و کامپیوترها نمی توانستند مستقل عمل کنند و برای عمل نباز به برنامه داشتند. اساس برنامه های کامپیوتری غالبا الگوریتمهای ترکیبیاتی اند و به همین دلیل اهمیت و کاربرد ترکیبیات پس از اختراع کامپیوتر چندین برابر معلوم شد و باعث شد تا ریاضیدانان بسیاری به تحقیقات گسترده در این زمینه رو آوردند.
مباحث ترکیبیان بسیار گسترده اند ولی اساس آن بر پایه روشهای شمارش است که از جمله این روش ها می توان به اصل جمع ، اصل ضرب و اصل متمم اشاره کرد .
در این تاپیک ابتدا به بررسی اصول مقدماتی و آموزش ترکیبیات در حد مقدماتی پرداخته و در صورت توجه و تمایل دوستان پس از اتمام بخش مقدماتی بخش پیشرفته را بررسی می کنیم.
بنابراین از دوستانی که به این مبحث علاقمندند و یا اطلاعات مفیدی دارند می خواهم تا در پاسخگویی به مسائل مطرح شده در این تاپیک شرکت کنند. جواب هر مسئله مطرح شده را یک روز بعد از طرح آن داده میشود. (در صورتی که حداقل دو نفر نظر خود را قرار داده باشند)
منابع مطالبی که در این تاپیک قرار میگیره علاوه بر جزوات درسی شامل:
کتاب ترکیبیات انتشارات فاطمی
کتاب استراتژی های حل مسئله انتشارات مبتکران
خواهد بود.
دوستان توجه داشته باشید که این تاپیک بدین شکل تنها در سایت njavan قرار دارد و استفاده از ان تنها باذکر این سایت به عنوان منبع بلامانع خواهد بود.

[Only Math]

دو مسئله ابتدایی :
فرض کنید دو گوشه مقابل صفحه شطرنجی 8 8x حذف شده باشد آیا میتوان شکل باقی مانده را با 31 مهره دو مینو پر کرد؟ (دو خانه قرار گرفته در دوسر یک قطر صفحه)


می خواهیم صفحه شطرنج 5 *5 را با 8موزائیک 1*3 و یک موزائیک1*1 بپوشانیم . ثابت کنید موزائیک باید در مرکز صفحه باشد.

[Only Math]

پاسخ سوال اول :
ممکن است فکر کنید جواب مثبت است چون 62 خانه باقی مانده و با 31 دومینو پر میشود. اما اگر امتحان کرده باشید متوجه میشوید که در قرار دادن مهره آخر دچار مشکل میشوید. در واقع نمیتوان این شکل را با 31 مهره پر کرد چون:
در یک صفحه شطرنج کامل 32 خانه سفید و 32 خانه سیاه وجود دارد و میتوان آن را با 32 مهره دومینو پر کرد چون هر مهره یک خانه سفید و یک خانه مشکی را اشغال میکند این درحالی است که در سوال از ما خواسته شده تا دو خانه از دو سر یک قطر را حذف کنیم (2 خانه مشکی یا دو خانه سفید) :
فرض کنیددو خانه مشکی ک دو سر قطر قرار دار را حذف کرده ایم بنابراین در شکل حاصل ما 32 خانه سفید و 30 خانه مشکی داریم پس میتوانیم 30 مهره دومینو را به راحتی قرار دهیم اما در قرار دادن مهره آخر مشکل داریم چون دو خانه باقی مانده هر دو سفیدند درحالی که ما به یک خانه سفید و یک خانه مشکی نیاز داریم. پس نمیتوان چنین شکلی را با 31 مهره دومینو پوشاند.

[Only Math]

برای معرفی شمارش از چند مسئله مقدماتی شروع میکنیم:

بین دو شهر A و B سه جاده احداث شده است. به چند طریق میتوان از A به B رفت و به A برگشت ؟

راه حل : برای رفتن از A به B سه راه وجود دارد وبه ازای هریک از این 3 راه ، 3راه برای برگشت وجود دارد . پس به 9=3*3 طریق می توان از Aبه B رفت و به A برگشت.

در صفحه شطرنج 6*5 چند مربع 3*3 وجود دارد؟

راه حل : هر مربع 3*3 در صفحه شطرنجی از برخورد دو خط افقی به فاصله 3 و دو خط عمودی به فاصله 3 از صفحه صفحه شطرنجی حاصل میشود.
تعداد زوجهایی از خط های افقی که در صفحه شطرنجی مورد نظر به فاصله 3 از یکدیگر قرار دارند برابر 3 و تعداد زوجهایی از خط های عمودی که به فاصله 3 در این صفحه شطرنجی قرار دارند برابر 4 است. چون به ازای هر زوجی از خطهای افقی به فاصله 3 ، 4 مربع 3*3 وجود دارد ، پس در کل 3*4 مربع 3*3 در این صفحه وجود دارد.

قضیه 1 : تعداد مربعهای K*K در صفحه شطرنجی M،N<K ، M*N برابرست با :


(m-k+1)(n-k+1)



چند عدد دو رقمی وجود دارد ؟

راه حل : می توان اینگونه پرسید که به چند طریق می توان یک عدد دو رقمی نوشت؟
برای رقم دهگان می توان یک عدد را از مجموعه { 9 ، .... ، 2 ، 1 } و برای یکان یک عدد از مجموعه { 9 ، ... ، 1 ، 0 } انتخاب کرد . یعنی 9 انتخاب برای دهگان و 10 انتخاب برای یکان بنابراین به 9*10 طریق میتوان عدد دو رقمی ساخت پس 90 عدد دورقمی وجود دارد.

قضیه 2 : فرض کنید m ، n دو عدد صحیح باشند و m < n . در این صورت تعداد اعضای مجموعه { m , m+1 , .... , n } بربر است با :m + n - 1

[Only Math]

1 ) بین دو شهر a ، b سه جاده و بین دو شهر b ، c چهار جاده احداث شده است .

الف) به چند طریق میتوانیم از a به c برویم ؟
ب) به چند طریق می توان از a به c و به a برگشت ؟
ج) به چند طریق میتوانیم از a به c برویم و به a برگردیم به طوری که از هیچ جاده ای دو بار عبور نکنیم ؟

2) چند عدد سه رقمی بدون تکرار ارقام وجود دارد ؟

3) چند عدد 4 رقمی فرد میتوان ساخت؟ (تکرار اعداد مجاز است )

4) در یک مربع 8*8 چند مربع وجود دارد ؟

[Only Math]

کسی در مورد سولات نظری نداره !؟ :-o

[kamanabroo]

چرا من مي خواستم بگم كه

خيلي سوالي خوبي هستند
و اگه ميشه وقتشو زيادتر كنين:">


الف: 12
ب:9*12


..
همشو من نگم بقيه رو شما ها بگين

[Only Math]

چرا من مي خواستم بگم كه

خيلي سوالي خوبي هستند
و اگه ميشه وقتشو زيادتر كنين:">


الف: 12
ب:9*12


..
همشو من نگم بقيه رو شما ها بگين

قسمت الف درست ولی قسمت ب نادرست:
طبق قسمت الف به 12 طریق میشه از a به c رفت و برای بگشت هم همینطور بنابراین جواب قسمت ب میشه 12 * 12

[AvAstiN]

ج) 9*10*10*5 = 4500

[Only Math]

1 ) بین دو شهر a ، b سه جاده و بین دو شهر b ، c چهار جاده احداث شده است .

الف) به چند طریق میتوانیم از a به c برویم ؟ 12= 4 * 3
ب) به چند طریق می توان از a به c و به a برگشت ؟ 144= 3 * 4 * 4 * 3
ج) به چند طریق میتوانیم از a به c برویم و به a برگردیم به طوری که از هیچ جاده ای دو بار عبور نکنیم ؟
برای رفتن از a به c طبق قسمت الف 12 راه وجود دارد اما در هنگام برگشت با توجه به صورت مسئله نباید از جادههایی که از آن برای رفت استفاده کرده ایم عبور کنیم بنابراین برای برگشت از a به b دو جاده و از b به c سه جاده وجود دارد : 72 = 2 * 3 * 4 * 3

2) چند عدد سه رقمی بدون تکرار ارقام وجود دارد ؟
برای رقم صدگان 9 انتخاب داریم .
در صورت مجاز بودن تکرار برای دهگان 10 انتخاب وجود داشت اما چون تکرار نامجاز است نمی توانیم از عددی که در صدگان استفاده شده استفاده کنیم پس 9 انتخاب داریم.
برای رقم یکان 8 انتخاب داریم چون از 10 عدد یک عدد در دهگان و یک عدد در صدگان استفاده شده پس تعداد اعداد سه رقمی بدون تکرار ارقام برابرست با : 648 = 8 * 9 * 9

3) چند عدد 4 رقمی فرد میتوان ساخت؟ (تکرار اعداد مجاز است )
فرد بودن یا زوج بودن یک عدد به رقم یکان آن بستگی دارد پس رقم یکان را باید از اعداد :
{9 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1 } انتخاب کنیم پس برای یکان 5 انتخاب داریم.
چون تکرار مجاز است برای رقم دهگان 10 ، صدگان 10 و هزارگان 9 انتخاب داریم پس تعداد اعداد 4 رقمی فرد برابر است با : 4500 = 5 * 10 *10 * 9

4) در یک مربع 8*8 چند مربع وجود دارد ؟

چون تعداد کل مربع ها را خواسته پس باید تعداد مربع های 1*1 و 2*2 و 3*3 و .... و 8*8 را باتوجه به قضیه 1 بدست آورده و سپس مجموع آنها را حساب کنیم :



49 = (1+2-8) (1+2-8) : مربع 2*2 / 64 = (1+1-8) (1+1-8) : مربع 1*1


25 = (1+4-8) (1+4-8) : مربع 4*4 / 36 = (1+3-8) (1+3-8) : مربع 3*3


9 = (1+6-8) (1+6-8) : مربع 6*6 / 16 = (1+5-8) (1+5-8) : مربع 5*5


1 = (1+8-8) (1+8-8) : مربع 8*8 / 4 = (1+7-8) (1+7-8) : مربع 7*7


بنابراین تعداد کل مربع ها برابر است با : 204 = 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1

[shahriar13]

اگر می خوای کتاب آقای علی پور(ترکیبیات انتشارات فاطمی) رو کپی پیست کنی حق ناشر رو زیر پا گذاشتی
پیشنهاد میکنم این کار رو ادامه ندی^#(^
اگر یکم تند صحبت کردم عذر میخوام!

[Only Math]

اگر می خوای کتاب آقای علی پور(ترکیبیات انتشارات فاطمی) رو کپی پیست کنی حق ناشر رو زیر پا گذاشتی
پیشنهاد میکنم این کار رو ادامه ندی^#(^
اگر یکم تند صحبت کردم عذر میخوام!
ممنون از توجهتون اما باید بگم این مطالب از تنها کتاب آقای علی پور نبود بلکه از جزوات کلاسهای خودم که کتاب اقای علی پور کتاب کار و منبع امتحاناتم بوده و چند کتاب دیگه هم استفاده کردم واسه همین شبیه شدن از الان به بعد بیشتر دقت میکنم بازم ممنون از تذکرتون. @};-

[Only Math]

سلام به همه دوستان [golrooz]
بعد از مدتی تاخیر تاپیک اموزش ترکیبیات رو دوباره شروع میکنم و از همه علاقمندان به این مبحث دعوت میکنم تا در ادامه این تاپیک به من کمک کنند و راه حل ها و پیشنهادات خودشون رو برای مسائل ارائه بدن.

[Only Math]

اصول شمارش:

1) اصل جمع :
اصل جمع یکی از پرکاربردترین اصول ریاضی است که همه ما بدون اینکه ان را بدانیم حتی در زندگی روزمره خود از ان استفاده میکنیم. مثلا:
وقتی میگوییم 3 توپ قرمز، 2 توپ ابی، 5 توپ زرد و به طور کلی 10 توپ داریم در واقع از این اصل کمک گرفته ایم.
تعریف ریاضی اصل جمع:
اگر مجموعه A را n دسته افراز (تقسیم ) کنیم داریم:



http://www.codecogs.com/eq.latex?%7CA%7C=%7C%7BA%7D_%7B1%7D%7C+%20%7C%7BA% 7D_%7B2%7D%7C+%20....%20+%20%7C%7BA%7D_%7Bn%7D%7C




( |A| یعنی تعداد اعضای مجموعه A )

[Only Math]

2) اصل متمم:
اصل متمم را میتوان تعمیمی از اصل جمع دانست و در شرایطی که محاسبات به کمک اصل جمع طولانی و مشکل ساز میشود میتوان از ان کمک گرفت.
فرض کنید B زیر مجموعه ای از A باشد دراینصورت:


http://www.codecogs.com/eq.latex?%7CA-B%7C=%7CA%7C-%7CB%7C


به طور مثال:
وقتی میخواهیم تعداد اعدادی که بر 10 بخشپزیر نیستند را در مجموعه {100،...،1،2}
بدست بیاوریم میتوانیم:
از اصل متمم اینگونه کمک می گیریم که:
تعداد اعداد بخشپذیر بر 10 در این مجموعه برابرست با: 10
تعداد کل اعضا برابرست با: 100
بنابراین تعداد اعضای مورد نظر ما مساوی خواهد بود با : 90 = 10 - 100

[Only Math]

3) اصل ضرب:
به جرئت میتوان اصل ضرب را یکی از پرکاربردترین اصل شمارش در مبحث ترکیبیات به شمار اورد و به کمک ان میتوان خیلی از مسائل را بدون استفاده از فرمول های مختلف و بعضا دشوار پاسخ داد.
بیان ریاضی:
اگر مراح کاری را بتوان به n مرحله تجزیه کرد به طوری که مرحله اول خود به http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bm%7D_%7B1%7D طریق، مرحله دوم به http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bm%7D_%7B2%7D طریق و .... و مرحله nام به http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bm%7D_%7Bn%7D طریق انجام گیرد؛ کل کار به http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bm%7D_%7B1%7D%7Bm%7D_%7B2%7D...%7Bm%7D_ %7Bn%7D طریق صورت میگیرد.

[I♥Mathematics]

کتاب ترکیبیات انتشارات فاطمی عباس ثروتی و علی پور به نظر من نه، از نظر خود نویسنده چیز قوی ایی نیست!!!!! عباس ثروتی معلمم بود برای المپیاد کامپیوتر و همچنین المپیاد ریاضی!!!! خیلی پایه بود! یه چیز جالب هم بگم که رشته ایی که خونده شیمیه!!!! (منم نفهمیدم هدفش چی بود رفته بود با سهمیه المپیاد ریاضی، شیمی) بابت آموزشاتون ممنونم و دنبال میکنم!

[Only Math]

مثال:

چند عدد 5 رقمی را میتوان با اعداد 1 تا 9 نوشت به طوری که:
1) تکرار ارقام مجاز باشد
2) تکرار مجاز نباشد

1) برای نوشتن عداد 5 رقمی با مجاز بودن تکرار ارقام، برای هر رقم 9 حالت در نظر میگیریم که به کمک تصل ضرب حاصل کل را بدست می اوریم:

9*9*9*9*9


2) با توجه به مجاز نبودن تکرار برای رقم اول 9 انتخاب برای رقم دوم 8 ( حذف عدد انتخاب شده رقم اول) و به همین ترتیب 5 انتخاب برای رقم اخر داریم. بنابراین کل حالات برابرست با:

5*6*7*8*9


نکته: برای قسمت اول میتوان قضیه ای به اینصورت نوشت که:
تعداد کلمات و یا اعداد با r حرفی یا رقمی با n حرف یا رقم (در صورتی که 0 جز انها نباشد) برابراست با:
http://www.codecogs.com/eq.latex?%7Bn%7D%5E%7Br%7D


که به کمک اصل ضرب ابات میشود.

[Only Math]

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

2) 10 نفر را به چند طریق میتوان به 5 دسته دونفری تقسیم کرد؟

3) در شماره گذاری صفحات یک کتاب از 1386 رقم استفاده شده است. این کتاب چند صفحه دارد؟
چند عدد 7 رقمی با ارقام متمایز وجود دارد که:
الف) شرطی نداشته باشد.
ب) فرد باشد.
ج) زوج باشد

4) عدد طبیعی b را که از وارون کردن عدد طبیعی a بدست می اید را مقلوب a می نامیم. چند عدد بین 1 تا 99999 وجود دارد که مقلوبش با خودش برابر است؟

منتظر نظرات دوستان هستم [cheshmak]

[Only Math]

کتاب ترکیبیات انتشارات فاطمی عباس ثروتی و علی پور به نظر من نه، از نظر خود نویسنده چیز قوی ایی نیست!!!!! عباس ثروتی معلمم بود برای المپیاد کامپیوتر و همچنین المپیاد ریاضی!!!! خیلی پایه بود! یه چیز جالب هم بگم که رشته ایی که خونده شیمیه!!!! (منم نفهمیدم هدفش چی بود رفته بود با سهمیه المپیاد ریاضی، شیمی) بابت آموزشاتون ممنونم و دنبال میکنم!
این کتابی که من دارم فقط برای علیپور و به نظرم کتاب خوبیه. ولی تنها منبع من نیست جزوات المپیادها و کتاب استراتژی هم هست. البته سعی میکنم برای توضیحات از اطلاعات خودمماستفاده کنم که چکیده ای از همه اینا باشه. [cheshmak]
از نظرتون ممنون و منتظر پاسخ های شما به مسائل هستم [golrooz]

[Only Math]

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

2) 10 نفر را به چند طریق میتوان به 5 دسته دونفری تقسیم کرد؟

3) در شماره گذاری صفحات یک کتاب از 1386 رقم استفاده شده است. این کتاب چند صفحه دارد؟
چند عدد 7 رقمی با ارقام متمایز وجود دارد که:
الف) شرطی نداشته باشد.
ب) فرد باشد.
ج) زوج باشد

4) عدد طبیعی b را که از وارون کردن عدد طبیعی a بدست می اید را مقلوب a می نامیم. چند عدد بین 1 تا 99999 وجود دارد که مقلوبش با خودش برابر است؟

منتظر نظرات دوستان هستم [cheshmak]
همچنان منتظر نظرات دوستان برای پاسخ این سوالات هستم. تا بعد از بررسی اونها تاپیک رو ادامه بدم [entezar][entezar]

[Only Math]

ازهمه دوستان بابت توجهشون ممنون [entezar][entezar][entezar]
و اما پاسخ سوالات:

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

برای بدست اوردن تعداد مقسوم علیه ها ابتدا باید عدد را به عامل های اولش تجزیه کنیم:




5 * 2^3 * 3^2 = 360
هر مقسوم علیه عدد 360 را میتوان به صورت :


http://www.codecogs.com/eq.latex?%7B2%7D%5E%7Ba%7D*%7B3%7D%5E%7Bb%7D*%7B5% %207D%5E%7Bc%7D

به طوری که:

http://www.codecogs.com/eq.latex?a%5Cin%280,1,2,3%29
http://www.codecogs.com/eq.latex?b%5Cin%280,1,2%29
http://www.codecogs.com/eq.latex?c%5Cin%280,1%29


پس برای a, b, c به ترتیب 4و 3و 2 انتخاب داریم که در اینصورت تعداد مقسوم علیه ها برابر خواهد بود با:


24 = 4*3*2





2) 10 نفر را به چند طریق میتوان به 5 دسته دونفری تقسیم کرد؟

برای تشکیل گروه اول:
نفر اول 10 انتخاب و نفر دوم 9 انتخاب داریم اما در اینصورت هر حالت دوبار شورده میشود یعنی در ان شمارش علی _ حسن و حسن _ علی دو حالت جدا محسوب میشوند درحای که فرقی با هم ندارند پس حالت های ممکن برای گروه اول برابرست با:


5 * 9 = 2 / (9 * 10)

و به همین ترتیب :

گروه 2:


4 * 7 = 2 / (7 * 8)

گروه 3:


3 * 5 = 2 / (5 * 6)

گروه 4:



2 * 3 = 2 / (3 * 4)

گروه 5:





1 * 1 = 2 / (1 * 2)



و تعداد کل حالات بنابر اصل ضرب برابراست با حاصلضرب این مقدار ها
اما باز هم در این شمارش حالت های تکراری رخ خواهند داد که ان هم حالتی است که جای گروه ها با هم تغییر میکنند مثلا گروه علی _ حسن ممکن است در گروه 1 یا دو و ... به وجد بیاید که در این نوع شمارش متمایز محسوب میشوند اما تفاوتی در انواع گروه ها ندارند بنابراین با باید حاصل را بر تعداد جابه جایی های 5 گروه که برابرست با !5 تقسیم کنیم:


1 * 3 * 5 * 7 * 9 = !5 / (1 * 1 * 2 * 3 * 3 * 5 * 4 * 7 * 5 * 9)








3) در شماره گذاری صفحات یک کتاب از 1386 رقم استفاده شده است. این کتاب چند صفحه دارد؟

تعداد رقم های مورد استفاده برای هر سری از اعداد ( تک رقمی، دورقمی و ...) را حساب و تا انجایی ادامه میدهیم که به 1386 برسیم :

تعداد ارقام مورد استفاده برای تک رقمی ها: 9=9 *1
برای دو رقمی ها: 180= 90 * 2
بنابراین 189 رقم تا صفحه 99 به کار رفته است و تعداد ارقام باقی مانده برای 3 رقمی ها برابراست با: 1197 = 189 - 1386
چون تعداد ارقام باقی مانده کمتر از تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن کل اعداد سه رقمی است، پس باید 1197 را بر 3 تقسیم کنیم تا تعداد اعداد سه رقمی بکار رفته مشخص شود:

399 = 3 / 1197


پس تعداد اعداد استفاده شده که همان تعداد صفحات است میشود:

498 = 399 + 90 + 9



4)چند عدد 7 رقمی با ارقام متمایز وجود دارد که:

الف) شرطی نداشته باشد.

برای بدسست اوردن تعداد حالات در هر مسئله ای ابتدا از قسمتی که دارای محدودیت خاصی است شروع میکنیم. در این قسمت هم محدودیت در اولین رقم از سمت چپ است که صفر را شامل نمیشود پس از سمت چپ :
رقم اول 9 حالت
رقم دوم 9 ( با احتساب صفر و حذف رقم استفاده شده در اولین رقم چرا که ارقام متمایزند)
رقم سوم 8
.
.
.
.
رقم 6ام 5
رقم 7 ام 4
تعداد اعداد برابرست با:

544320 = 4* 5* 6* 7* 8 * 9 * 9





ب) فرد باشد.

محدودیت بیشتر در رقم اخر از چپ است که تنها باید شامل اعداد فرد باشد پس 5 حالت داریم
بعد از ان باید وضعیت رقم اول را مشخص کنیم که نه صفر را شامل میشود و نه عدد استفاده شده در رقم اخر پس 8 حالت داریم. تعداد کل برابرست با :


268800 = 5 * 4* 5 * 6 * 7 * 8 * 8



ج) زوج باشد

راه اول:
در این قسمت اعداد به دو دسته تقسیم میشوند اعدادی که رقم اخر انها صفر است و انهایی که زوج است ولی صفر نیست!
دلیل این تقسیم بندی هم محدودیت رقم اول و همچنین متمایز بودن ارقام است:

حالت اول :

یکان صفر است پس تنها یک حالت دارد
رقم اول: چون صفر عدد انتخابی که برای رقم یکان بوده است و این عدد در هیچ حالتی نمیتواند در رقم اول قرار بگیرد؛ هیچ تغییری در تعداد حالات ندارد پس 9 انتخاب داریم
تعداد عداد موجود در این حالت برابرست با:


60480 = 1 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9






حالت دوم :

یکان اعداد زوج ولی غیر صفر است پس 4 حالت داریم.
رقم اول: چون نه صفر میتواند باشد و نه عددی که در یکان استفاده شده پس 8 انتخاب داریم.
تعداد اعداد موجود در این حالت میشود:


215040 = 4 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 8


تعداد کل اعداد نیز بنابر اصل جمع برابر خواهد بود با : 275520 = 60480 + 215040




راه دوم:

میدانیم که اعداد صحیح مثبت یا فردند و یا زوج. با توجه به اینکه در قسمت الف کل حالات و در قسمت ب حالات فرد را محاسبه کرده ایم به کمک اصل متمم میتوانیم تعداد زوج ها را بدست اوریم:

275520 = 26880 - 544320


5) عدد طبیعی b را که از وارون کردن عدد طبیعی a بدست می اید را مقلوب a می نامیم. چند عدد بین 1 تا 99999 وجود دارد که مقلوبش با خودش برابر است؟

اعداد تک رقمی: تمام اعداد تک رقمی این خصوصیا را دارند: 9

اعداد دورقمی : تنها انهایی دارا این خاصیت هستند که یکان و دهگان برابری داشته باشند:


9 = 1 * 9


اعداد سه رقمی: انهایی که تقارن دارند یعنی دهگان در اینجا اهمیت ندارد بلکه تنها کافیست صدگان و یکان با هم برابر باشند :


90 = 1 * 10 * 9


اعداد 4 رقمی: کافیست هزارگان با یکان و صدگان با دهگان برابر باشد:


90 = 1 * 1 * 10 * 9




اعداد 5 رقمی: کافیست رقم اول از چپ با رقم یکان و هزارگان با دهگان برابر باشد:


900 = 1 * 1 * 10 * 10 * 9


تعداد کل برابرست با:


1098 = 900 + 90 + 90 + 9 + 9

[nazanin1375]

من خیلی وقته تلاش می کنم بعد از داخل شدن سوال عدد 360 چند مقسوم علیه دارد را پیدا کنم ولی بعد از عضو شدن باز هم نتوانستم :( از شما کمک می خواهم

[Only Math]

من خیلی وقته تلاش می کنم بعد از داخل شدن سوال عدد 360 چند مقسوم علیه دارد را پیدا کنم ولی بعد از عضو شدن باز هم نتوانستم :( از شما کمک می خواهم


ازهمه دوستان بابت توجهشون ممنون [entezar][entezar][entezar]
و اما پاسخ سوالات:

1) عدد 360 چند مقسوم علیه دارد؟

برای بدست اوردن تعداد مقسوم علیه ها ابتدا باید عدد را به عامل های اولش تجزیه کنیم:




5 * 2^3 * 3^2 = 360
هر مقسوم علیه عدد 360 را میتوان به صورت :


http://www.codecogs.com/eq.latex?%7b2%7d%5e%7ba%7d*%7b3%7d%5e%7bb%7d*%7b5% 7d%5e%7bc%7d


به طوری که:

http://www.codecogs.com/eq.latex?a%5cin%280,1,2,3%29
http://www.codecogs.com/eq.latex?b%5cin%280,1,2%29
http://www.codecogs.com/eq.latex?c%5cin%280,1%29


پس برای a, b, c به ترتیب 4و 3و 2 انتخاب داریم که در اینصورت تعداد مقسوم علیه ها برابر خواهد بود با:


24 = 4*3*2















اگر باز هم مشکلی هست بگید که توضیح بدم