اعداد کوانتومی

[ØÑтRдŁ§]

اطلاعات اولیه
در بررسی ساختار اتم مدلهای مختلفی ارائه شده است. ابتدایی‌ترین این مدلها ، مدل سیاره‌ای رادرفورد است. بعد از مدل سیاره‌ای رادرفورد ، نیلز بوهر مدل جدیدی را ارائه داد (مدل اتمی بوهر). این مدل می‌‌توانست ساختار طیفی اتم هیدروژن را توضیح دهد. در اصل موضوع بوهر که اساس و مبنای مدل بوهر است، فرض می‌‌شود که الکترونها مقیدند در مدارهایی حرکت کنند که در آنها اندازه حرکت الکترون مضرب درستی از h/2π باشد که h ثابت پلانک است. همچنین در این مدل فرض می‌‌شود که ترازهای انرژی کوانتیده‌اند. بعدها که ساختار طیف مربوط به عناصر مختلف مورد توجه قرار گرفت، انرژی هر الکترون در اتم با یک سری اعداد که به عنوان اعداد کوانتومی معروف هستند، مشخص
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/f/f3/C3_atomPic_03.JPG
اعداد کوانتومی اصلی
گفتیم که ترازهای انرژی در اتم گسسته هستند. این امر به این معنی است که اگر اتم توسط تابش الکترومغناطیسی بمباران شود، تابش توسط الکترونها جذب می‌‌شود. لذا الکترونها از ترازهای اولیه یا پایه خود تحریک شده و به ترازهای برانگیخته می‌‌روند، اما چون این حالت یک حالت ناپایدار است، لذا الکترون با گسیل تابش از تراز برانگیخته به تراز اولیه خود برمی‌‌گردد. مقدار انرژی جذب شده یا گسیل شده متناسب با فاصله ترازهای انرژی است، یعنی اگر انرژی تراز اولیه را با E و انرژی تراز برانگیخته را با ΄E مشخص کنیم، در این صورت فرکانس نور گسیل شده یا تحریک شده از رابطه E - E΄ = hv حاصل می‌‌شود.

از طرف دیگر ، چون طبق اصل موضوع بوهر ، اندازه حرکت الکترون باید مضرب صحیحی از h/2π باشد، بنابراین اگر با تقریب مدار حرکت الکترون به دور هسته را دایره‌ای به شعاع r فرض کنیم، در این صورت nh/2π خواهد بود که در این رابطه v سرعت الکترون و m جرم آن است. همچنین با توجه به این که نیروی وارد شده از طرف هسته بر الکترون نیروی مرکزی است، لذا اگر بار هسته را برابر ze بگیریم که در آن z عدد اتمی است، مقدار نیروی وارد بر الکترون برابر ze2/r2 = mv2/r خواهد بود. از ترکیب این روابط می‌‌توان مقدار انرژی الکترون در هر تراز اتمی را بدست آورد.

در این صورت انرژی از رابطه: E = 1/2mc2/(zα)2 بدست می‌آید که در این رابطه α مقدار ثابتی است که برابر α = 1/137 e2/ћc بوده و ثابت ساختار ریز نامیده می‌‌شود. مقدار n که در رابطه انرژی ظاهر شده است، عدد کوانتومی اصلی نامیده می‌‌شود. البته می‌‌توان مقدار انرژی الکترون در هر تراز را از حل معادله شرودینگر محاسبه کرد. در این صورت نیز رابطه انرژی الکترون در هر تراز برحسب یک عدد کوانتومی که به عدد کوانتومی اصلی معروف است، مشخص می‌‌شود.
عدد کوانتومی اندازه حرکت زاویه‌ای مداری
نظریه اتم تک الکترونی بوهر عدد کوانتومی اصلی n را معرفی می‌‌کند که مقدار درست آن انرژی کل اتم را مشخص می‌‌کند. عدد کوانتومی n که یک عدد صحیح و مثبت است، بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ای الکترون به دور هسته را بر اساس اصل موضوع بوهر ، طبق رابطه L = nћ مشخص می‌‌کند. ћ عدد ثابتی است که بصورت نسبت ثابت پلانک بر عدد 2π تعریف می‌‌شود، اما از دیدگاه مکانیک موجی درست نیست که برای الکترون یک مسیر مشخص دایره‌ای یا شکل دیگری را در نظر بگیریم. (اصل عدم قطعیت مانع این کار است) و نیز از این دیدگاه قاعده بوهر در مورد کوانتش بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ای درست نیست.

بر خلاف نظریه کلاسیک ، مکانیک موجی نشان می‌‌دهد که بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ای مداری (L) یک دستگاه اتمی کوانتیده است و مقادیر ممکن آن می‌‌تواند از رابطه: L = (l(l + 1))1/2ћ بدست آید. در این رابطه l عدد صحیحی است که عدد کوانتومی ‌اندازه حرکت زاویه‌ای مداری نامیده می‌‌شود. برای مقدار مفروض از عدد کوانتومی ‌اصلی n ، مقادیر ممکن l ، اعداد درست از صفر تا n - 1 خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر n = 2 باشد، در این صورت l می‌‌تواند مقادیر (1,0) را اختیار کند.

در نمادگذاری ترازها هر مقدار از l با یک حرف مشخص می‌‌شود. در این نمادگذاری مقدار l = 0 با حرف S و l = 1 با حرف l = 2 ، P با حرف D و ... مشخص می‌‌شود. چون انرژی فقط برحسب عدد کوانتومی ‌اصلی مشخص می‌‌شود، بنابراین در مورد تک الکترونی که تحت تأثیر یک نیروی کولنی از جانب هسته است و در تراز n = 3 قرار دارد، هر سه حالت l = 0 , 1 , 2 دارای انرژی یکسانی خواهند بود.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/6f/C3_quant_01.JPG

[ØÑтRдŁ§]

گفتیم که الکترون در اثر نیرویی که از طرف هسته بر آن وارد می‌‌شود، حول هسته می‌‌چرخد. چون الکترون یک ذره باردار است، بنابراین مدار الکترون را می‌‌توان یک مدار مغناطیسی در نظر گرفت. برای این مدار مغناطیسی و در واقع برای الکترون می‌‌توان یک گشتاور دو قطبی مغناطیسی تعریف نمود. این کمیت بر اساس اندازه حرکت زاویه‌ای مداری الکترون تعریف می‌‌شود. یعنی از رابطه μ = eL/2m حاصل می‌‌شود که در آن μ گشتاور دو قطبی مغناطیسی است.

حال اگر یک میدان مغناطیسی خارجی اعمال شود، در این صورت میدان سعی می‌‌کند تا گشتاور دو قطبی مغناطیسی و به تبع آن L را در راستای میدان قرار دهد، اما در مکانیک موجی بردار اندازه حرکت زاویه‌ای مداری L نمی‌‌تواند هر جهتی را نسبت به میدان مغناطیسی اختیار کند، بلکه محدود به جهتهای به خصوصی است که برای آن مؤلفه بردار اندازه حرکت زاویه مداری ، در راستای میدان مغناطیسی ، مضرب دستی از ћ باشد. بنابراین اگر جهت میدان مغناطیسی را در راستای محور z اختیار کنیم، در این صورت مؤلفه z بردار L از رابطه Lz = ml ћ حاصل می‌‌شود. در این رابطه ml عدد کوانتومی ‌مغناطیسی مداری است. به ازای یک مقدار مفروض l ، m_l می‌‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند:



{ml ={ l , l - 1 , l - 2 , … , 0 , … , - l

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/7/73/C3_quant_03.JPG

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/d/d0/img1610.JPG
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/3/31/img122.JPG
عدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی
در نظریه کوانتومی ‌سه ثابت فیزیک کلاسیک مربوط به حرکت ذره‌ای که تحت تأثیر جاذبه عکس مجذوری قرار دارد، کوانتیده‌اند. این سه ثابت عبارتند از: انرژی ، بزرگی اندازه حرکت زاویه‌ای مداری ، مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ای مداری در یک جهت ثابت از فضا. در مکانیک کوانتومی ‌به این ثابتهای حرکت اعداد کوانتومی n و l و ml نسبت داده می‌‌شوند، اما علاوه بر این سه عدد کوانتومی ، عدد کوانتومی ‌دیگری به نام عدد کوانتومی ‌اسپینی که به مفهوم اسپین الکترون مربوط است، معرفی می‌‌شود.

در سال 1925/1304 گود اسمیت و اوهلن یک اظهار داشتند که یک اندازه حرکت زاویه‌ای ذاتی ، کاملا مستقل از اندازه حرکت زاویه‌ای مداری ، به هر الکترون وابسته است. این اندازه حرکت ذاتی ، اسپین الکترون نامیده می‌‌شود. چون می‌‌توان آن را با اندازه حرکت ذاتی که هر جسم گسترده بر اساس دوران یا اسپین حول مرکز جرم خود دارد، مانسته داشت. البته لازم به توضیح است که در مکانیک موجی تلقی الکترون به عنوان یک کره ساده با بار الکتریکی صحیح نیست، بلکه صرفا به خاطر مشخص کردن اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی الکترون به کمک مدل قابل تجسم ، بهتر است که آن را به عنوان جسمی که در فضا دارای گسترش است و بطور پیوسته حول یک محور به دور خود می‌‌چرخد، فرض کنیم.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/7/79/C3_quant_04.JPG
مانند اندازه حرکت زاویه‌ای مداری در اینجا نیز می‌‌توانیم یک گشتاور مغناطیسی مربوط به حرکت اسپینی الکترون در نظر بگیریم. چنانچه یک الکترون ، با گشتاور مغناطیسی دائمی خود ، در یک میدان مغناطیسی قرار گیرد، انتظار می‌‌رود که اسپین آن کوانتیده فضایی باشد، یعنی گشتاور مغناطیسی اسپینی و اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی به سمت گیری‌های خاصی محدود خواهند بود.

بنابراین اگر میدان مغناطیسی در راستای محور z فرض شود، در این صورت مؤلفه اندازه حرکت زاویه‌ای اسپینی Lsz در جهت این میدان از رابطه Lsz = msћ حاصل خواهد شد. در این رابطه ms عدد کوانتومی ‌مغناطیسی اسپینی نامیده می‌‌شود. از آنجا که الکترون از دسته فرمیونها می‌‌باشد، بنابراین دارای اسپین نیم فرد خواهد بود، لذا عدد کوانتومی ms فقط می‌‌تواند دو مقدار ممکن 2/1+ و 2/1- را اختیار کند.