چند نامساوی هندسی

[Only Math]

چند نامساوی هندسی
انگيزه‌ي نوشتن اين مقاله، اهميّتي است كه نامساوي‌ها در تمام شاخه‌هاي رياضيات دارند تا جايي كه گاهي از تساوي‌ها نيز مهم‌ترند. چون احكام نامساوي‌هاي هندسي را به آساني مي‌توان فهميد از اين رو جذابيّت خاصّي دارند در عين حال مقدّمه‌اي بسيار خوب براي آشنايي با رياضيات جديد و انديشه‌ي خلّاق رياضي هستند. در اين جا شما را با چند نامساوي مهم هندسي و روش به دست آوردن آن‌ها آشنا مي‌كنيم.



1- نامساوي ميانگين‌هاي حسابي- هندسي:

تعريف: براي اعداد حقيقي http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781284033_ge1.gif ؛ ميانگين حسابي را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781284749_ge2.gif
تعريف: براي اعداد حقيقي نامنفي http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781284033_ge1.gif ؛ ميانگين هندسي را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781285513_ge3.gif
حكم: براي اعداد حقيقي نامنفي http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781284033_ge1.gif ؛ ميانگين هندسي از ميانگين حسابي؛ نابيش‌تر است يعني:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812916_ge4.gif .

http://anjoman.ir/Images/Public/200781584623_geomarith.jpg

پيش از پرداختن به اثبات اين حكم، ابتدا لم زير را مي آوريم :
لم: اگر x عدد حقيقي نامنفي دلخواهي باشد آن‌گاه:http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781292430_ge5.gif .
اين لم به كمك قضيه ي مقدار ميانگين اثبات مي شود و در كتب استاندارد حساب ديفرانسيل و انتگرال آمده است .

اثبات حكم: براي http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781293040_ge6.gif ، با جايگذاري http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781293622_ge7.gif در نامساوي لم خواهيم داشت:http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781294514_ge8.gif.و لذا:

http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781295317_ge9.gif

[Only Math]

2- نامساوي اردوش- موردل:


حكم:اگر P نقطه‌ي دلخواهي درون مثلث http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812101425_ge10.gif به ترتيب، فاصله‌ي P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812102231_ge11.gif.
و تساوي برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوي‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.
اثبات:


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812103557_ge12.gif


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812114849_ge13.gif

از طرفي چون چهارضلعي CDPE محاطي است پس طبق قضيه‌ي بطلميوس داريم:


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812124421_ge14.gif
با استفاده از (**) داريم :


http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781212552_ge15.gif

اكنون با استفاده از رابطه‌هاي (*) و (***) خواهيم داشت:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812132954_ge16.gif.
به روش مشابه مي‌توان نشان داد كه:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812133850_ge17.gif.
بنابراين:


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812134932_ge18.gif

لم: براي 0<x ، http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812141158_ge19.gif و تساوي وقتي و فقط وقتي رخ مي‌دهد كه 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرين به خواننده واگذار مي‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ي (1) خواهيم داشت:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812102231_ge11.gif.

و تساوي وقتي و فقط وقتي رخ مي‌دهد كه مثلّث ABC متساوي‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.
نكته:نامساوي اردوش-موردل در حالتي كه P روي مرز مثلّث ABC باشد نيز برقرار است.

[Only Math]

- نامساوي اويلر:


حكم: اگر R شعاع دايره محيطي و r شعاع دايره محاطي مثلّث ABC باشند، آن‌گاه:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812143957_ge20.gif .
لم: اگر d فاصله‌ي مركز دايره‌ي محيطي و مركز دايره‌ي محاطي مثلّث ABC باشد آن‌گاه:http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812145040_ge21.gif.

براي ديدن اثباتي از اين لم مي‌توانيد به كتاب " بازآموزي و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ي عبدالحسين مصحفي مراجعه نمائيد.
به وضوح، حكم با توجه به لم فوق نتيجه مي‌شود.

[Only Math]

- نامساوي Hadwiger-Finsler:

حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812151131_ge22.gif
پيش از پرداختن به اثبات حكم، مفهوم تابع محدّب را معرّفي مي‌كنيم:
تعريف: تابع http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812152235_ge23.gif را محدّب گوئيم (I يك بازه است) هرگاه به ازاي هر x,y در I و هر http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812154538_ge24.gif داشته باشيم: http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007812155422_ge25.gif .

لم: اگر f تابعي محدّب و http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781284033_ge1.gif نقاط دلخواهي در دامنه‌ي f و اعداد دلخواه http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781314397_ge26.gif,(http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781293040_ge6.gif)طوري باشند كه http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781491157_ge27.gif آن‌گاه:


http://www.anjoman.ir/Images/Public/2007813143249_ge28.gif
اثبات لم با استقراء بر n .(جزئيات به عهده‌ي خواننده).
اثبات حكم: http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781492121_ge29.gif كه در آن http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781492746_ge30.gif زاويه‌ي بين ضلع‌هاي b,cاست. چون http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781493621_ge31.gif پس :


http://www.anjoman.ir/Images/Public/20078149595_ge32.gif

به روش مشابه مي‌توان نشان داد كه http://www.anjoman.ir/Images/Public/20078141085_ge33.gifو http://www.anjoman.ir/Images/Public/200781410168_ge34.gifكه در آن http://anjoman.ir/Images/Public/200781411759_ge35.gif به ترتيب زواياي بين ضلع‌هاي "a,b" , "a,c "هستند. بنابراين:


http://anjoman.ir/Images/Public/2007814112250_ge37.gif
چون http://anjoman.ir/Images/Public/200781411403_ge38.gif و http://anjoman.ir/Images/Public/200781412813_ge39.gif در http://anjoman.ir/Images/Public/200781412198_ge40.gif محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخير خواهيم داشت:


http://anjoman.ir/Images/Public/2007814123032_ge41.gif

با استفاده از (*) و (**) خواهيم داشت:


http://anjoman.ir/Images/Public/200781412395_ge42.gif

و به اين ترتيب حكم ثابت مي‌شود.

[Only Math]

5- نامساوي Weizenbock:

حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:


http://anjoman.ir/Images/Public/200781413449_ge43.gif
اثبات: كافي است در نامساوي 4 از اين واقعيت كه:http://anjoman.ir/Images/Public/2007814131342_ge44.gif است، استفاده كنيم

[Only Math]

منابع مطالب بالا : /irantrack.com